{l}{3x-4y=7}{x+3/2-y=4} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = 7 } \\ { \frac { x + 3 } { 2 } - y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-3$$

$$y=-4$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x-4y=7,\frac{1}{2}\left(x+3\right)-y=4$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x-4y=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4y जोडा.

$$3x=4y+7$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y+7\right)$$

4y+7 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{4}{3}y+\frac{7}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{4y+7}{3} चा विकल्प वापरा, \frac{1}{2}\left(x+3\right)-y=4.

$$\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}y+\frac{7}{3}+3\right)-y=4$$

\frac{7}{3} ते 3 जोडा.

$$\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}\right)-y=4$$

\frac{16+4y}{3} ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}-y=4$$

\frac{2y}{3} ते -y जोडा.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{8}{3} वजा करा.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{4}{3}$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने गुणाकार करा.

$$y=-4$$

x=\frac{4}{3}y+\frac{7}{3} मध्ये y साठी -4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{4}{3}\left(-4\right)+\frac{7}{3}$$

-4 ला \frac{4}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-16+7}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{7}{3} ते -\frac{16}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-3,y=-4$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x-4y=7,\frac{1}{2}\left(x+3\right)-y=4$$

द्वितीय समीकरण मानक फॉर्ममध्ये ठेवण्यासाठी सरलीकृत करा.

$$\frac{1}{2}\left(x+3\right)-y=4$$

x+3 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}-y=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{3}{2} वजा करा.

$$\frac{1}{2}x-y=\frac{5}{2}$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\times \frac{1}{2}\right)}&-\frac{-4}{3\left(-1\right)-\left(-4\times \frac{1}{2}\right)}\\-\frac{\frac{1}{2}}{3\left(-1\right)-\left(-4\times \frac{1}{2}\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\times \frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-4\\\frac{1}{2}&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7-4\times \frac{5}{2}\\\frac{1}{2}\times 7-3\times \frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-3,y=-4$$