{l}{3x-4y=-4}{2x+4y=16} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = - 4 } \\ { 2 x + 4 y = 16 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

$$y = \frac{14}{5} = 2\frac{4}{5} = 2.8$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x-4y=-4,2x+4y=16$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x-4y=-4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4y जोडा.

$$3x=4y-4$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y-4\right)$$

-4+4y ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-4+4y}{3} चा विकल्प वापरा, 2x+4y=16.

$$2\left(\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}\right)+4y=16$$

\frac{-4+4y}{3} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{8}{3}y-\frac{8}{3}+4y=16$$

\frac{8y}{3} ते 4y जोडा.

$$\frac{20}{3}y-\frac{8}{3}=16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{8}{3} जोडा.

$$\frac{20}{3}y=\frac{56}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{20}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{14}{5}$$

x=\frac{4}{3}y-\frac{4}{3} मध्ये y साठी \frac{14}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{4}{3}\times \frac{14}{5}-\frac{4}{3}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{14}{5} चा \frac{4}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{56}{15}-\frac{4}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{4}{3} ते \frac{56}{15} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{12}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{14}{5}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x-4y=-4,2x+4y=16$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\16\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\16\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{3\times 4-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 4-\left(-4\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\16\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{10}&\frac{3}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-4\right)+\frac{1}{5}\times 16\\-\frac{1}{10}\left(-4\right)+\frac{3}{20}\times 16\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5}\\\frac{14}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{14}{5}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x-4y=-4,2x+4y=16$$

3x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$2\times 3x+2\left(-4\right)y=2\left(-4\right),3\times 2x+3\times 4y=3\times 16$$

सरलीकृत करा.

$$6x-8y=-8,6x+12y=48$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6x-8y=-8 मधून 6x+12y=48 वजा करा.

$$6x-6x-8y-12y=-8-48$$

6x ते -6x जोडा. 6x आणि -6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-8y-12y=-8-48$$

-8y ते -12y जोडा.

$$-20y=-8-48$$

-8 ते -48 जोडा.

$$-20y=-56$$

दोन्ही बाजूंना -20 ने विभागा.

$$y=\frac{14}{5}$$

2x+4y=16 मध्ये y साठी \frac{14}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+4\times \frac{14}{5}=16$$

\frac{14}{5} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$2x+\frac{56}{5}=16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{56}{5} वजा करा.

$$2x=\frac{24}{5}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{12}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{14}{5}$$