{l}{3x-2y=5}{-3x+4y=-9} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { - 3 x + 4 y = - 9 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=-2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x-2y=5,-3x+4y=-9$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x-2y=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2y जोडा.

$$3x=2y+5$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

2y+5 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{2y+5}{3} चा विकल्प वापरा, -3x+4y=-9.

$$-3\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)+4y=-9$$

\frac{2y+5}{3} ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$-2y-5+4y=-9$$

-2y ते 4y जोडा.

$$2y-5=-9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5 जोडा.

$$2y=-4$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=-2$$

x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3} मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{5}{3}$$

-2 ला \frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-4+5}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{5}{3} ते -\frac{4}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{1}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{1}{3},y=-2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x-2y=5,-3x+4y=-9$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 5+\frac{1}{3}\left(-9\right)\\\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{1}{3},y=-2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x-2y=5,-3x+4y=-9$$

3x आणि -3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$-3\times 3x-3\left(-2\right)y=-3\times 5,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\left(-9\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-9x+6y=-15,-9x+12y=-27$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -9x+6y=-15 मधून -9x+12y=-27 वजा करा.

$$-9x+9x+6y-12y=-15+27$$

-9x ते 9x जोडा. -9x आणि 9x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$6y-12y=-15+27$$

6y ते -12y जोडा.

$$-6y=-15+27$$

-15 ते 27 जोडा.

$$-6y=12$$

दोन्ही बाजूंना -6 ने विभागा.

$$y=-2$$

-3x+4y=-9 मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-3x+4\left(-2\right)=-9$$

-2 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-3x-8=-9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 8 जोडा.

$$-3x=-1$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{1}{3},y=-2$$