{l}{3x=2y}{5x+4y=2200} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x = 2 y } \\ { 5 x + 4 y = 2200 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=200$$

$$y=300$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$3x-2y=0$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x-2y=0,5x+4y=2200$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x-2y=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2y जोडा.

$$3x=2y$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\times 2y$$

2y ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{2}{3}y$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{2y}{3} चा विकल्प वापरा, 5x+4y=2200.

$$5\times \frac{2}{3}y+4y=2200$$

\frac{2y}{3} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{10}{3}y+4y=2200$$

\frac{10y}{3} ते 4y जोडा.

$$\frac{22}{3}y=2200$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{22}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=300$$

x=\frac{2}{3}y मध्ये y साठी 300 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{2}{3}\times 300$$

300 ला \frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=200$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=200,y=300$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$3x-2y=0$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x-2y=0,5x+4y=2200$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2200\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-2\\5&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2200\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2200\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2200\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\times 4-\left(-2\times 5\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2200\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{5}{22}&\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2200\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 2200\\\frac{3}{22}\times 2200\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\300\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=200,y=300$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$3x-2y=0$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x-2y=0,5x+4y=2200$$

3x आणि 5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$5\times 3x+5\left(-2\right)y=0,3\times 5x+3\times 4y=3\times 2200$$

सरलीकृत करा.

$$15x-10y=0,15x+12y=6600$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 15x-10y=0 मधून 15x+12y=6600 वजा करा.

$$15x-15x-10y-12y=-6600$$

15x ते -15x जोडा. 15x आणि -15x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-10y-12y=-6600$$

-10y ते -12y जोडा.

$$-22y=-6600$$

दोन्ही बाजूंना -22 ने विभागा.

$$y=300$$

5x+4y=2200 मध्ये y साठी 300 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5x+4\times 300=2200$$

300 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$5x+1200=2200$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 1200 वजा करा.

$$5x=1000$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=200$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=200,y=300$$