{l}{3x=-4y}{5x-6y=38} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x = - 4 y } \\ { 5 x - 6 y = 38 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=4$$

$$y=-3$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 4y जोडा.

$$3x+4y=0$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+4y=0,5x-6y=38$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+4y=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4y वजा करा.

$$3x=-4y$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4\right)y$$

-4y ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{4}{3}y$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{4y}{3} चा विकल्प वापरा, 5x-6y=38.

$$5\left(-\frac{4}{3}\right)y-6y=38$$

-\frac{4y}{3} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{20}{3}y-6y=38$$

-\frac{20y}{3} ते -6y जोडा.

$$-\frac{38}{3}y=38$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{38}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-3$$

x=-\frac{4}{3}y मध्ये y साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-3\right)$$

-3 ला -\frac{4}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=4,y=-3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 4y जोडा.

$$3x+4y=0$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+4y=0,5x-6y=38$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-4\times 5}&-\frac{4}{3\left(-6\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-6\right)-4\times 5}&\frac{3}{3\left(-6\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\\\frac{5}{38}&-\frac{3}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 38\\-\frac{3}{38}\times 38\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=4,y=-3$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 4y जोडा.

$$3x+4y=0$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+4y=0,5x-6y=38$$

3x आणि 5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$5\times 3x+5\times 4y=0,3\times 5x+3\left(-6\right)y=3\times 38$$

सरलीकृत करा.

$$15x+20y=0,15x-18y=114$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 15x+20y=0 मधून 15x-18y=114 वजा करा.

$$15x-15x+20y+18y=-114$$

15x ते -15x जोडा. 15x आणि -15x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$20y+18y=-114$$

20y ते 18y जोडा.

$$38y=-114$$

दोन्ही बाजूंना 38 ने विभागा.

$$y=-3$$

5x-6y=38 मध्ये y साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5x-6\left(-3\right)=38$$

-3 ला -6 वेळा गुणाकार करा.

$$5x+18=38$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 18 वजा करा.

$$5x=20$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=4,y=-3$$