{l}{3x+y=450}{2x+3y=650} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 450 } \\ { 2 x + 3 y = 650 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=100$$

$$y=150$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+y=450,2x+3y=650$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+y=450$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$3x=-y+450$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+450\right)$$

-y+450 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{3}y+150$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{y}{3}+150 चा विकल्प वापरा, 2x+3y=650.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+150\right)+3y=650$$

-\frac{y}{3}+150 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{2}{3}y+300+3y=650$$

-\frac{2y}{3} ते 3y जोडा.

$$\frac{7}{3}y+300=650$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 300 वजा करा.

$$\frac{7}{3}y=350$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{7}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=150$$

x=-\frac{1}{3}y+150 मध्ये y साठी 150 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{3}\times 150+150$$

150 ला -\frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-50+150$$

150 ते -50 जोडा.

$$x=100$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=100,y=150$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+y=450,2x+3y=650$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}450\\650\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\650\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\650\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\650\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2}&-\frac{1}{3\times 3-2}\\-\frac{2}{3\times 3-2}&\frac{3}{3\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\650\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\650\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 450-\frac{1}{7}\times 650\\-\frac{2}{7}\times 450+\frac{3}{7}\times 650\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\150\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=100,y=150$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+y=450,2x+3y=650$$

3x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$2\times 3x+2y=2\times 450,3\times 2x+3\times 3y=3\times 650$$

सरलीकृत करा.

$$6x+2y=900,6x+9y=1950$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6x+2y=900 मधून 6x+9y=1950 वजा करा.

$$6x-6x+2y-9y=900-1950$$

6x ते -6x जोडा. 6x आणि -6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2y-9y=900-1950$$

2y ते -9y जोडा.

$$-7y=900-1950$$

900 ते -1950 जोडा.

$$-7y=-1050$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$y=150$$

2x+3y=650 मध्ये y साठी 150 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+3\times 150=650$$

150 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$2x+450=650$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 450 वजा करा.

$$2x=200$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=100$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=100,y=150$$