{l}{3x+y=2}{5x-y=8} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 2 } \\ { 5 x - y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

$$y = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+y=2,5x-y=8$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+y=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$3x=-y+2$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+2\right)$$

-y+2 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y+2}{3} चा विकल्प वापरा, 5x-y=8.

$$5\left(-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)-y=8$$

\frac{-y+2}{3} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}-y=8$$

-\frac{5y}{3} ते -y जोडा.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{10}{3}=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{10}{3} वजा करा.

$$-\frac{8}{3}y=\frac{14}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{8}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{7}{4}$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3} मध्ये y साठी -\frac{7}{4} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-\frac{7}{4}\right)+\frac{2}{3}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{7}{4} चा -\frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{7}{12}+\frac{2}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{2}{3} ते \frac{7}{12} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{5}{4}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{7}{4}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+y=2,5x-y=8$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-5}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-5}\\-\frac{5}{3\left(-1\right)-5}&\frac{3}{3\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 2+\frac{1}{8}\times 8\\\frac{5}{8}\times 2-\frac{3}{8}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\\-\frac{7}{4}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{7}{4}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+y=2,5x-y=8$$

3x आणि 5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$5\times 3x+5y=5\times 2,3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 8$$

सरलीकृत करा.

$$15x+5y=10,15x-3y=24$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 15x+5y=10 मधून 15x-3y=24 वजा करा.

$$15x-15x+5y+3y=10-24$$

15x ते -15x जोडा. 15x आणि -15x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$5y+3y=10-24$$

5y ते 3y जोडा.

$$8y=10-24$$

10 ते -24 जोडा.

$$8y=-14$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$y=-\frac{7}{4}$$

5x-y=8 मध्ये y साठी -\frac{7}{4} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5x-\left(-\frac{7}{4}\right)=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{7}{4} वजा करा.

$$5x=\frac{25}{4}$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{5}{4}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{7}{4}$$