{l}{3x+7y=7}{6x-14y=21} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 7 } \\ { 6 x - 14 y = 21 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{35}{12} = 2\frac{11}{12} \approx 2.916666667$$

$$y=-\frac{1}{4}=-0.25$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+7y=7,6x-14y=21$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+7y=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 7y वजा करा.

$$3x=-7y+7$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+7\right)$$

-7y+7 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{7}{3}y+\frac{7}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-7y+7}{3} चा विकल्प वापरा, 6x-14y=21.

$$6\left(-\frac{7}{3}y+\frac{7}{3}\right)-14y=21$$

\frac{-7y+7}{3} ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$-14y+14-14y=21$$

-14y ते -14y जोडा.

$$-28y+14=21$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 14 वजा करा.

$$-28y=7$$

दोन्ही बाजूंना -28 ने विभागा.

$$y=-\frac{1}{4}$$

x=-\frac{7}{3}y+\frac{7}{3} मध्ये y साठी -\frac{1}{4} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{7}{3}\left(-\frac{1}{4}\right)+\frac{7}{3}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{1}{4} चा -\frac{7}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{7}{12}+\frac{7}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{7}{3} ते \frac{7}{12} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{35}{12}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{35}{12},y=-\frac{1}{4}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+7y=7,6x-14y=21$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\6&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&7\\6&-14\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\6&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\6&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\6&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\6&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\6&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{3\left(-14\right)-7\times 6}&-\frac{7}{3\left(-14\right)-7\times 6}\\-\frac{6}{3\left(-14\right)-7\times 6}&\frac{3}{3\left(-14\right)-7\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\\\frac{1}{14}&-\frac{1}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 7+\frac{1}{12}\times 21\\\frac{1}{14}\times 7-\frac{1}{28}\times 21\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{12}\\-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{35}{12},y=-\frac{1}{4}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+7y=7,6x-14y=21$$

3x आणि 6x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$6\times 3x+6\times 7y=6\times 7,3\times 6x+3\left(-14\right)y=3\times 21$$

सरलीकृत करा.

$$18x+42y=42,18x-42y=63$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 18x+42y=42 मधून 18x-42y=63 वजा करा.

$$18x-18x+42y+42y=42-63$$

18x ते -18x जोडा. 18x आणि -18x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$42y+42y=42-63$$

42y ते 42y जोडा.

$$84y=42-63$$

42 ते -63 जोडा.

$$84y=-21$$

दोन्ही बाजूंना 84 ने विभागा.

$$y=-\frac{1}{4}$$

6x-14y=21 मध्ये y साठी -\frac{1}{4} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$6x-14\left(-\frac{1}{4}\right)=21$$

-\frac{1}{4} ला -14 वेळा गुणाकार करा.

$$6x+\frac{7}{2}=21$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{7}{2} वजा करा.

$$6x=\frac{35}{2}$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=\frac{35}{12}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{35}{12},y=-\frac{1}{4}$$