{l}{3x+6y=24}{9x+5y=68} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 6 y = 24 } \\ { 9 x + 5 y = 68 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{96}{13} = 7\frac{5}{13} \approx 7.384615385$$

$$y=\frac{4}{13}\approx 0.307692308$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+6y=24$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6y वजा करा.

$$3x=-6y+24$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-6y+24\right)$$

-6y+24 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-2y+8$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -2y+8 चा विकल्प वापरा, 9x+5y=68.

$$9\left(-2y+8\right)+5y=68$$

-2y+8 ला 9 वेळा गुणाकार करा.

$$-18y+72+5y=68$$

-18y ते 5y जोडा.

$$-13y+72=68$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 72 वजा करा.

$$-13y=-4$$

दोन्ही बाजूंना -13 ने विभागा.

$$y=\frac{4}{13}$$

x=-2y+8 मध्ये y साठी \frac{4}{13} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-2\times \frac{4}{13}+8$$

\frac{4}{13} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{8}{13}+8$$

8 ते -\frac{8}{13} जोडा.

$$x=\frac{96}{13}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{3\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{3\times 5-6\times 9}&\frac{3}{3\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}\times 24+\frac{2}{13}\times 68\\\frac{3}{13}\times 24-\frac{1}{13}\times 68\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{96}{13}\\\frac{4}{13}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

3x आणि 9x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 9 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$9\times 3x+9\times 6y=9\times 24,3\times 9x+3\times 5y=3\times 68$$

सरलीकृत करा.

$$27x+54y=216,27x+15y=204$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 27x+54y=216 मधून 27x+15y=204 वजा करा.

$$27x-27x+54y-15y=216-204$$

27x ते -27x जोडा. 27x आणि -27x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$54y-15y=216-204$$

54y ते -15y जोडा.

$$39y=216-204$$

216 ते -204 जोडा.

$$39y=12$$

दोन्ही बाजूंना 39 ने विभागा.

$$y=\frac{4}{13}$$

9x+5y=68 मध्ये y साठी \frac{4}{13} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$9x+5\times \frac{4}{13}=68$$

\frac{4}{13} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$9x+\frac{20}{13}=68$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{20}{13} वजा करा.

$$9x=\frac{864}{13}$$

दोन्ही बाजूंना 9 ने विभागा.

$$x=\frac{96}{13}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$