{l}{3x+20y=1150}{20x-20y=100} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 20 y = 1150 } \\ { 20 x - 20 y = 100 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{1250}{23} = 54\frac{8}{23} \approx 54.347826087$$

$$y = \frac{1135}{23} = 49\frac{8}{23} \approx 49.347826087$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+20y=1150,20x-20y=100$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+20y=1150$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 20y वजा करा.

$$3x=-20y+1150$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-20y+1150\right)$$

-20y+1150 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{20}{3}y+\frac{1150}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-20y+1150}{3} चा विकल्प वापरा, 20x-20y=100.

$$20\left(-\frac{20}{3}y+\frac{1150}{3}\right)-20y=100$$

\frac{-20y+1150}{3} ला 20 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{400}{3}y+\frac{23000}{3}-20y=100$$

-\frac{400y}{3} ते -20y जोडा.

$$-\frac{460}{3}y+\frac{23000}{3}=100$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{23000}{3} वजा करा.

$$-\frac{460}{3}y=-\frac{22700}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{460}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{1135}{23}$$

x=-\frac{20}{3}y+\frac{1150}{3} मध्ये y साठी \frac{1135}{23} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{20}{3}\times \frac{1135}{23}+\frac{1150}{3}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{1135}{23} चा -\frac{20}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{22700}{69}+\frac{1150}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1150}{3} ते -\frac{22700}{69} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{1250}{23}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{1250}{23},y=\frac{1135}{23}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+20y=1150,20x-20y=100$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&20\\20&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1150\\100\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&20\\20&-20\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&20\\20&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&20\\20&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&20\\20&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1150\\100\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&20\\20&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1150\\100\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&20\\20&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1150\\100\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3\left(-20\right)-20\times 20}&-\frac{20}{3\left(-20\right)-20\times 20}\\-\frac{20}{3\left(-20\right)-20\times 20}&\frac{3}{3\left(-20\right)-20\times 20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1150\\100\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}&\frac{1}{23}\\\frac{1}{23}&-\frac{3}{460}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1150\\100\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}\times 1150+\frac{1}{23}\times 100\\\frac{1}{23}\times 1150-\frac{3}{460}\times 100\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1250}{23}\\\frac{1135}{23}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{1250}{23},y=\frac{1135}{23}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+20y=1150,20x-20y=100$$

3x आणि 20x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 20 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$20\times 3x+20\times 20y=20\times 1150,3\times 20x+3\left(-20\right)y=3\times 100$$

सरलीकृत करा.

$$60x+400y=23000,60x-60y=300$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 60x+400y=23000 मधून 60x-60y=300 वजा करा.

$$60x-60x+400y+60y=23000-300$$

60x ते -60x जोडा. 60x आणि -60x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$400y+60y=23000-300$$

400y ते 60y जोडा.

$$460y=23000-300$$

23000 ते -300 जोडा.

$$460y=22700$$

दोन्ही बाजूंना 460 ने विभागा.

$$y=\frac{1135}{23}$$

20x-20y=100 मध्ये y साठी \frac{1135}{23} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$20x-20\times \frac{1135}{23}=100$$

\frac{1135}{23} ला -20 वेळा गुणाकार करा.

$$20x-\frac{22700}{23}=100$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{22700}{23} जोडा.

$$20x=\frac{25000}{23}$$

दोन्ही बाजूंना 20 ने विभागा.

$$x=\frac{1250}{23}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{1250}{23},y=\frac{1135}{23}$$