{l}{3x+2y=10}{7x-8y=-2} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 10 } \\ { 7 x - 8 y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=2$$

$$y=2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+2y=10,7x-8y=-2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+2y=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$3x=-2y+10$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+10\right)$$

-2y+10 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-2y+10}{3} चा विकल्प वापरा, 7x-8y=-2.

$$7\left(-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}\right)-8y=-2$$

\frac{-2y+10}{3} ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{14}{3}y+\frac{70}{3}-8y=-2$$

-\frac{14y}{3} ते -8y जोडा.

$$-\frac{38}{3}y+\frac{70}{3}=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{70}{3} वजा करा.

$$-\frac{38}{3}y=-\frac{76}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{38}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=2$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3} मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{10}{3}$$

2 ला -\frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-4+10}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{10}{3} ते -\frac{4}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+2y=10,7x-8y=-2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-2\times 7}&-\frac{2}{3\left(-8\right)-2\times 7}\\-\frac{7}{3\left(-8\right)-2\times 7}&\frac{3}{3\left(-8\right)-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{7}{38}&-\frac{3}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}\times 10+\frac{1}{19}\left(-2\right)\\\frac{7}{38}\times 10-\frac{3}{38}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=2,y=2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+2y=10,7x-8y=-2$$

3x आणि 7x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$7\times 3x+7\times 2y=7\times 10,3\times 7x+3\left(-8\right)y=3\left(-2\right)$$

सरलीकृत करा.

$$21x+14y=70,21x-24y=-6$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 21x+14y=70 मधून 21x-24y=-6 वजा करा.

$$21x-21x+14y+24y=70+6$$

21x ते -21x जोडा. 21x आणि -21x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$14y+24y=70+6$$

14y ते 24y जोडा.

$$38y=70+6$$

70 ते 6 जोडा.

$$38y=76$$

दोन्ही बाजूंना 38 ने विभागा.

$$y=2$$

7x-8y=-2 मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$7x-8\times 2=-2$$

2 ला -8 वेळा गुणाकार करा.

$$7x-16=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 16 जोडा.

$$7x=14$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=2$$