{l}{3x+2y=1}{2x-7y=-2} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 1 } \\ { 2 x - 7 y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{3}{25}=0.12$$

$$y=\frac{8}{25}=0.32$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+2y=1,2x-7y=-2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+2y=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$3x=-2y+1$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+1\right)$$

-2y+1 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-2y+1}{3} चा विकल्प वापरा, 2x-7y=-2.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-7y=-2$$

\frac{-2y+1}{3} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{2}{3}-7y=-2$$

-\frac{4y}{3} ते -7y जोडा.

$$-\frac{25}{3}y+\frac{2}{3}=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{2}{3} वजा करा.

$$-\frac{25}{3}y=-\frac{8}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{25}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{8}{25}$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3} मध्ये y साठी \frac{8}{25} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{8}{25}+\frac{1}{3}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{8}{25} चा -\frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{16}{75}+\frac{1}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{3} ते -\frac{16}{75} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{3}{25}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{3}{25},y=\frac{8}{25}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+2y=1,2x-7y=-2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3\left(-7\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(-7\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-7\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(-7\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}&\frac{2}{25}\\\frac{2}{25}&-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}+\frac{2}{25}\left(-2\right)\\\frac{2}{25}-\frac{3}{25}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\\\frac{8}{25}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{3}{25},y=\frac{8}{25}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+2y=1,2x-7y=-2$$

3x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$2\times 3x+2\times 2y=2,3\times 2x+3\left(-7\right)y=3\left(-2\right)$$

सरलीकृत करा.

$$6x+4y=2,6x-21y=-6$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6x+4y=2 मधून 6x-21y=-6 वजा करा.

$$6x-6x+4y+21y=2+6$$

6x ते -6x जोडा. 6x आणि -6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$4y+21y=2+6$$

4y ते 21y जोडा.

$$25y=2+6$$

2 ते 6 जोडा.

$$25y=8$$

दोन्ही बाजूंना 25 ने विभागा.

$$y=\frac{8}{25}$$

2x-7y=-2 मध्ये y साठी \frac{8}{25} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x-7\times \frac{8}{25}=-2$$

\frac{8}{25} ला -7 वेळा गुणाकार करा.

$$2x-\frac{56}{25}=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{56}{25} जोडा.

$$2x=\frac{6}{25}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{3}{25}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{3}{25},y=\frac{8}{25}$$