{l}{3(x-1)=2(y-1)}{4(y-1)=3(x+5)} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x - 1 ) = 2 ( y - 1 ) } \\ { 4 ( y - 1 ) = 3 ( x + 5 ) } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=7$$

$$y=10$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला x-1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

2 ला y-1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x-3=2y-2$$

दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$3x-3-2y=-2$$

दोन्ही बाजूंना 3 जोडा.

$$3x-2y=-2+3$$

1 मिळविण्यासाठी -2 आणि 3 जोडा.

$$3x-2y=1$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 4 ला y-1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

3 ला x+5 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4y-4=3x+15$$

दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$4y-4-3x=15$$

दोन्ही बाजूंना 4 जोडा.

$$4y-3x=15+4$$

19 मिळविण्यासाठी 15 आणि 4 जोडा.

$$4y-3x=19$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x-2y=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2y जोडा.

$$3x=2y+1$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

2y+1 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{2y+1}{3} चा विकल्प वापरा, -3x+4y=19.

$$-3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)+4y=19$$

\frac{2y+1}{3} ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$-2y-1+4y=19$$

-2y ते 4y जोडा.

$$2y-1=19$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 1 जोडा.

$$2y=20$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=10$$

x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3} मध्ये y साठी 10 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{2}{3}\times 10+\frac{1}{3}$$

10 ला \frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{20+1}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{3} ते \frac{20}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=7$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=7,y=10$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला x-1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

2 ला y-1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x-3=2y-2$$

दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$3x-3-2y=-2$$

दोन्ही बाजूंना 3 जोडा.

$$3x-2y=-2+3$$

1 मिळविण्यासाठी -2 आणि 3 जोडा.

$$3x-2y=1$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 4 ला y-1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

3 ला x+5 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4y-4=3x+15$$

दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$4y-4-3x=15$$

दोन्ही बाजूंना 4 जोडा.

$$4y-3x=15+4$$

19 मिळविण्यासाठी 15 आणि 4 जोडा.

$$4y-3x=19$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times 19\\\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 19\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=7,y=10$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला x-1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

2 ला y-1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x-3=2y-2$$

दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$3x-3-2y=-2$$

दोन्ही बाजूंना 3 जोडा.

$$3x-2y=-2+3$$

1 मिळविण्यासाठी -2 आणि 3 जोडा.

$$3x-2y=1$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 4 ला y-1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

3 ला x+5 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4y-4=3x+15$$

दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$4y-4-3x=15$$

दोन्ही बाजूंना 4 जोडा.

$$4y-3x=15+4$$

19 मिळविण्यासाठी 15 आणि 4 जोडा.

$$4y-3x=19$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

3x आणि -3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$-3\times 3x-3\left(-2\right)y=-3,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 19$$

सरलीकृत करा.

$$-9x+6y=-3,-9x+12y=57$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -9x+6y=-3 मधून -9x+12y=57 वजा करा.

$$-9x+9x+6y-12y=-3-57$$

-9x ते 9x जोडा. -9x आणि 9x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$6y-12y=-3-57$$

6y ते -12y जोडा.

$$-6y=-3-57$$

-3 ते -57 जोडा.

$$-6y=-60$$

दोन्ही बाजूंना -6 ने विभागा.

$$y=10$$

-3x+4y=19 मध्ये y साठी 10 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-3x+4\times 10=19$$

10 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-3x+40=19$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 40 वजा करा.

$$-3x=-21$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$x=7$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=7,y=10$$