{l}{3(x+y)-4(x-y)=-18}{1/2(x+y)+1/6(x-y)=2} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) - 4 ( x - y ) = - 18 } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( x + y ) + \frac { 1 } { 6 } ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=4$$

$$y=-2$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

-4 ला x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

-x मिळविण्यासाठी 3x आणि -4x एकत्र करा.

$$-x+3y+4y=-18$$

7y मिळविण्यासाठी 3y आणि 4y एकत्र करा.

$$-x+7y=-18$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. \frac{1}{2} ला x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

\frac{1}{6} ला x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{2}{3}x मिळविण्यासाठी \frac{1}{2}x आणि \frac{1}{6}x एकत्र करा.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{1}{3}y मिळविण्यासाठी \frac{1}{2}y आणि -\frac{1}{6}y एकत्र करा.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-x+7y=-18$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 7y वजा करा.

$$-x=-7y-18$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$x=-\left(-7y-18\right)$$

-7y-18 ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$x=7y+18$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी 7y+18 चा विकल्प वापरा, \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2.

$$\frac{2}{3}\left(7y+18\right)+\frac{1}{3}y=2$$

7y+18 ला \frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{14}{3}y+12+\frac{1}{3}y=2$$

\frac{14y}{3} ते \frac{y}{3} जोडा.

$$5y+12=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 12 वजा करा.

$$5y=-10$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y=-2$$

x=7y+18 मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=7\left(-2\right)+18$$

-2 ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-14+18$$

18 ते -14 जोडा.

$$x=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=4,y=-2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

-4 ला x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

-x मिळविण्यासाठी 3x आणि -4x एकत्र करा.

$$-x+3y+4y=-18$$

7y मिळविण्यासाठी 3y आणि 4y एकत्र करा.

$$-x+7y=-18$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. \frac{1}{2} ला x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

\frac{1}{6} ला x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{2}{3}x मिळविण्यासाठी \frac{1}{2}x आणि \frac{1}{6}x एकत्र करा.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{1}{3}y मिळविण्यासाठी \frac{1}{2}y आणि -\frac{1}{6}y एकत्र करा.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{7}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\\-\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{1}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{7}{5}\\\frac{2}{15}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{7}{5}\times 2\\\frac{2}{15}\left(-18\right)+\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=4,y=-2$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

-4 ला x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

-x मिळविण्यासाठी 3x आणि -4x एकत्र करा.

$$-x+3y+4y=-18$$

7y मिळविण्यासाठी 3y आणि 4y एकत्र करा.

$$-x+7y=-18$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. \frac{1}{2} ला x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

\frac{1}{6} ला x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{2}{3}x मिळविण्यासाठी \frac{1}{2}x आणि \frac{1}{6}x एकत्र करा.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{1}{3}y मिळविण्यासाठी \frac{1}{2}y आणि -\frac{1}{6}y एकत्र करा.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

-x आणि \frac{2x}{3} समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना \frac{2}{3} ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -1 ने गुणाकार करा.

$$\frac{2}{3}\left(-1\right)x+\frac{2}{3}\times 7y=\frac{2}{3}\left(-18\right),-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

सरलीकृत करा.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12,-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12 मधून -\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2 वजा करा.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

-\frac{2x}{3} ते \frac{2x}{3} जोडा. -\frac{2x}{3} आणि \frac{2x}{3} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

\frac{14y}{3} ते \frac{y}{3} जोडा.

$$5y=-12+2$$

-12 ते 2 जोडा.

$$5y=-10$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y=-2$$

\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2 मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\left(-2\right)=2$$

-2 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{2}{3} जोडा.

$$\frac{2}{3}x=\frac{8}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{2}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=4,y=-2$$