{l}{3(x+y)+9=2(x-y)}{2(x+y)=3(x-y)-4} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) + 9 = 2 ( x - y ) } \\ { 2 ( x + y ) = 3 ( x - y ) - 4 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{13}{10} = -1\frac{3}{10} = -1.3$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

2 ला x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

x मिळविण्यासाठी 3x आणि -2x एकत्र करा.

$$x+3y+9=-2y$$

दोन्ही बाजूंना 2y जोडा.

$$x+3y+9+2y=0$$

5y मिळविण्यासाठी 3y आणि 2y एकत्र करा.

$$x+5y+9=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 9 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$x+5y=-9$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

3 ला x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

-x मिळविण्यासाठी 2x आणि -3x एकत्र करा.

$$-x+2y=-3y-4$$

दोन्ही बाजूंना 3y जोडा.

$$-x+2y+3y=-4$$

5y मिळविण्यासाठी 2y आणि 3y एकत्र करा.

$$-x+5y=-4$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+5y=-9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5y वजा करा.

$$x=-5y-9$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -5y-9 चा विकल्प वापरा, -x+5y=-4.

$$-\left(-5y-9\right)+5y=-4$$

-5y-9 ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$5y+9+5y=-4$$

5y ते 5y जोडा.

$$10y+9=-4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 9 वजा करा.

$$10y=-13$$

दोन्ही बाजूंना 10 ने विभागा.

$$y=-\frac{13}{10}$$

x=-5y-9 मध्ये y साठी -\frac{13}{10} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-5\left(-\frac{13}{10}\right)-9$$

-\frac{13}{10} ला -5 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{13}{2}-9$$

-9 ते \frac{13}{2} जोडा.

$$x=-\frac{5}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

2 ला x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

x मिळविण्यासाठी 3x आणि -2x एकत्र करा.

$$x+3y+9=-2y$$

दोन्ही बाजूंना 2y जोडा.

$$x+3y+9+2y=0$$

5y मिळविण्यासाठी 3y आणि 2y एकत्र करा.

$$x+5y+9=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 9 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$x+5y=-9$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

3 ला x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

-x मिळविण्यासाठी 2x आणि -3x एकत्र करा.

$$-x+2y=-3y-4$$

दोन्ही बाजूंना 3y जोडा.

$$-x+2y+3y=-4$$

5y मिळविण्यासाठी 2y आणि 3y एकत्र करा.

$$-x+5y=-4$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-5\left(-1\right)}&-\frac{5}{5-5\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-5\left(-1\right)}&\frac{1}{5-5\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-9\right)-\frac{1}{2}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}\left(-9\right)+\frac{1}{10}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{13}{10}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

2 ला x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

x मिळविण्यासाठी 3x आणि -2x एकत्र करा.

$$x+3y+9=-2y$$

दोन्ही बाजूंना 2y जोडा.

$$x+3y+9+2y=0$$

5y मिळविण्यासाठी 3y आणि 2y एकत्र करा.

$$x+5y+9=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 9 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$x+5y=-9$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

3 ला x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

-x मिळविण्यासाठी 2x आणि -3x एकत्र करा.

$$-x+2y=-3y-4$$

दोन्ही बाजूंना 3y जोडा.

$$-x+2y+3y=-4$$

5y मिळविण्यासाठी 2y आणि 3y एकत्र करा.

$$-x+5y=-4$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून x+5y=-9 मधून -x+5y=-4 वजा करा.

$$x+x+5y-5y=-9+4$$

5y ते -5y जोडा. 5y आणि -5y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$x+x=-9+4$$

x ते x जोडा.

$$2x=-9+4$$

-9 ते 4 जोडा.

$$2x=-5$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=-\frac{5}{2}$$

-x+5y=-4 मध्ये x साठी -\frac{5}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$-\left(-\frac{5}{2}\right)+5y=-4$$

-\frac{5}{2} ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{5}{2}+5y=-4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{5}{2} वजा करा.

$$5y=-\frac{13}{2}$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y=-\frac{13}{10}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$