{l}{3(x+2)=2y}{2cy+5=7x} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + 2 ) = 2 y } \\ { 2 c y + 5 = 7 x } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7}$$

$$y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

$$c\neq \frac{7}{3}$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला x+2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+6=2y$$

दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$3x+6-2y=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 6 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$3x-2y=-6$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 7x वजा करा.

$$2cy+5-7x=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 5 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$2cy-7x=-5$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-5$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x-2y=-6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2y जोडा.

$$3x=2y-6$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-6\right)$$

-6+2y ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{2}{3}y-2$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{2y}{3}-2 चा विकल्प वापरा, -7x+2cy=-5.

$$-7\left(\frac{2}{3}y-2\right)+2cy=-5$$

\frac{2y}{3}-2 ला -7 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{14}{3}y+14+2cy=-5$$

-\frac{14y}{3} ते 2cy जोडा.

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y+14=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 14 वजा करा.

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y=-19$$

दोन्ही बाजूंना -\frac{14}{3}+2c ने विभागा.

$$y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

x=\frac{2}{3}y-2 मध्ये y साठी -\frac{57}{2\left(-7+3c\right)} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}\right)-2$$

-\frac{57}{2\left(-7+3c\right)} ला \frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{19}{3c-7}-2$$

-2 ते -\frac{19}{-7+3c} जोडा.

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7},y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला x+2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+6=2y$$

दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$3x+6-2y=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 6 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$3x-2y=-6$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 7x वजा करा.

$$2cy+5-7x=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 5 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$2cy-7x=-5$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-5$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2c}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}&\frac{1}{3c-7}\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}&\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}\left(-6\right)+\frac{1}{3c-7}\left(-5\right)\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}\left(-6\right)+\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6c+5}{3c-7}\\-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7},y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला x+2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+6=2y$$

दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$3x+6-2y=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 6 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$3x-2y=-6$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 7x वजा करा.

$$2cy+5-7x=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 5 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$2cy-7x=-5$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-5$$

3x आणि -7x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -7 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$-7\times 3x-7\left(-2\right)y=-7\left(-6\right),3\left(-7\right)x+3\times 2cy=3\left(-5\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-21x+14y=42,-21x+6cy=-15$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -21x+14y=42 मधून -21x+6cy=-15 वजा करा.

$$-21x+21x+14y+\left(-6c\right)y=42+15$$

-21x ते 21x जोडा. -21x आणि 21x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$14y+\left(-6c\right)y=42+15$$

14y ते -6cy जोडा.

$$\left(14-6c\right)y=42+15$$

42 ते 15 जोडा.

$$\left(14-6c\right)y=57$$

दोन्ही बाजूंना 14-6c ने विभागा.

$$y=\frac{57}{2\left(7-3c\right)}$$

-7x+2cy=-5 मध्ये y साठी \frac{57}{2\left(7-3c\right)} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-7x+2c\times \frac{57}{2\left(7-3c\right)}=-5$$

\frac{57}{2\left(7-3c\right)} ला 2c वेळा गुणाकार करा.

$$-7x+\frac{57c}{7-3c}=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{57c}{7-3c} वजा करा.

$$-7x=-\frac{7\left(6c+5\right)}{7-3c}$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$x=\frac{6c+5}{7-3c}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{6c+5}{7-3c},y=\frac{57}{2\left(7-3c\right)}$$