{l}{3(5x-2)-7(2y+3)=2}{2(3x-y)-23=3(4-9x)} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 5 x - 2 ) - 7 ( 2 y + 3 ) = 2 } \\ { 2 ( 3 x - y ) - 23 = 3 ( 4 - 9 x ) } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=1$$

$$y=-1$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला 5x-2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

-7 ला 2y+3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$15x-6-14y-21=2$$

-27 मिळविण्यासाठी -6 मधून 21 वजा करा.

$$15x-27-14y=2$$

दोन्ही बाजूंना 27 जोडा.

$$15x-14y=2+27$$

29 मिळविण्यासाठी 2 आणि 27 जोडा.

$$15x-14y=29$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला 3x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

3 ला 4-9x ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x-2y-23=12-27x$$

दोन्ही बाजूंना 27x जोडा.

$$6x-2y-23+27x=12$$

33x मिळविण्यासाठी 6x आणि 27x एकत्र करा.

$$33x-2y-23=12$$

दोन्ही बाजूंना 23 जोडा.

$$33x-2y=12+23$$

35 मिळविण्यासाठी 12 आणि 23 जोडा.

$$33x-2y=35$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$15x-14y=29$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 14y जोडा.

$$15x=14y+29$$

दोन्ही बाजूंना 15 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{15}\left(14y+29\right)$$

14y+29 ला \frac{1}{15} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{14y+29}{15} चा विकल्प वापरा, 33x-2y=35.

$$33\left(\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}\right)-2y=35$$

\frac{14y+29}{15} ला 33 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{154}{5}y+\frac{319}{5}-2y=35$$

\frac{154y}{5} ते -2y जोडा.

$$\frac{144}{5}y+\frac{319}{5}=35$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{319}{5} वजा करा.

$$\frac{144}{5}y=-\frac{144}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{144}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-1$$

x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15} मध्ये y साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{14}{15}\left(-1\right)+\frac{29}{15}$$

-1 ला \frac{14}{15} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-14+29}{15}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{29}{15} ते -\frac{14}{15} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=-1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला 5x-2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

-7 ला 2y+3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$15x-6-14y-21=2$$

-27 मिळविण्यासाठी -6 मधून 21 वजा करा.

$$15x-27-14y=2$$

दोन्ही बाजूंना 27 जोडा.

$$15x-14y=2+27$$

29 मिळविण्यासाठी 2 आणि 27 जोडा.

$$15x-14y=29$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला 3x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

3 ला 4-9x ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x-2y-23=12-27x$$

दोन्ही बाजूंना 27x जोडा.

$$6x-2y-23+27x=12$$

33x मिळविण्यासाठी 6x आणि 27x एकत्र करा.

$$33x-2y-23=12$$

दोन्ही बाजूंना 23 जोडा.

$$33x-2y=12+23$$

35 मिळविण्यासाठी 12 आणि 23 जोडा.

$$33x-2y=35$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&-\frac{-14}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\\-\frac{33}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&\frac{15}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}&\frac{7}{216}\\-\frac{11}{144}&\frac{5}{144}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}\times 29+\frac{7}{216}\times 35\\-\frac{11}{144}\times 29+\frac{5}{144}\times 35\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=1,y=-1$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला 5x-2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

-7 ला 2y+3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$15x-6-14y-21=2$$

-27 मिळविण्यासाठी -6 मधून 21 वजा करा.

$$15x-27-14y=2$$

दोन्ही बाजूंना 27 जोडा.

$$15x-14y=2+27$$

29 मिळविण्यासाठी 2 आणि 27 जोडा.

$$15x-14y=29$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला 3x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

3 ला 4-9x ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x-2y-23=12-27x$$

दोन्ही बाजूंना 27x जोडा.

$$6x-2y-23+27x=12$$

33x मिळविण्यासाठी 6x आणि 27x एकत्र करा.

$$33x-2y-23=12$$

दोन्ही बाजूंना 23 जोडा.

$$33x-2y=12+23$$

35 मिळविण्यासाठी 12 आणि 23 जोडा.

$$33x-2y=35$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

15x आणि 33x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 33 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 15 ने गुणाकार करा.

$$33\times 15x+33\left(-14\right)y=33\times 29,15\times 33x+15\left(-2\right)y=15\times 35$$

सरलीकृत करा.

$$495x-462y=957,495x-30y=525$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 495x-462y=957 मधून 495x-30y=525 वजा करा.

$$495x-495x-462y+30y=957-525$$

495x ते -495x जोडा. 495x आणि -495x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-462y+30y=957-525$$

-462y ते 30y जोडा.

$$-432y=957-525$$

957 ते -525 जोडा.

$$-432y=432$$

दोन्ही बाजूंना -432 ने विभागा.

$$y=-1$$

33x-2y=35 मध्ये y साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$33x-2\left(-1\right)=35$$

-1 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$33x+2=35$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2 वजा करा.

$$33x=33$$

दोन्ही बाजूंना 33 ने विभागा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=-1$$