{l}{25x+35y=16500}{x+y=500} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 35 y = 16500 } \\ { x + y = 500 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=100$$

$$y=400$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$25x+35y=16500$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 35y वजा करा.

$$25x=-35y+16500$$

दोन्ही बाजूंना 25 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{25}\left(-35y+16500\right)$$

-35y+16500 ला \frac{1}{25} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{7}{5}y+660$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{7y}{5}+660 चा विकल्प वापरा, x+y=500.

$$-\frac{7}{5}y+660+y=500$$

-\frac{7y}{5} ते y जोडा.

$$-\frac{2}{5}y+660=500$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 660 वजा करा.

$$-\frac{2}{5}y=-160$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{2}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=400$$

x=-\frac{7}{5}y+660 मध्ये y साठी 400 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{7}{5}\times 400+660$$

400 ला -\frac{7}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-560+660$$

660 ते -560 जोडा.

$$x=100$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=100,y=400$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-35}&-\frac{35}{25-35}\\-\frac{1}{25-35}&\frac{25}{25-35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{10}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 16500+\frac{7}{2}\times 500\\\frac{1}{10}\times 16500-\frac{5}{2}\times 500\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\400\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=100,y=400$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

25x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 25 ने गुणाकार करा.

$$25x+35y=16500,25x+25y=25\times 500$$

सरलीकृत करा.

$$25x+35y=16500,25x+25y=12500$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 25x+35y=16500 मधून 25x+25y=12500 वजा करा.

$$25x-25x+35y-25y=16500-12500$$

25x ते -25x जोडा. 25x आणि -25x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$35y-25y=16500-12500$$

35y ते -25y जोडा.

$$10y=16500-12500$$

16500 ते -12500 जोडा.

$$10y=4000$$

दोन्ही बाजूंना 10 ने विभागा.

$$y=400$$

x+y=500 मध्ये y साठी 400 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+400=500$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 400 वजा करा.

$$x=100$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=100,y=400$$