{l}{200x+300y=360}{300x+200y=340} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 200 x + 300 y = 360 } \\ { 300 x + 200 y = 340 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$200x+300y=360$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 300y वजा करा.

$$200x=-300y+360$$

दोन्ही बाजूंना 200 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{200}\left(-300y+360\right)$$

-300y+360 ला \frac{1}{200} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{3y}{2}+\frac{9}{5} चा विकल्प वापरा, 300x+200y=340.

$$300\left(-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}\right)+200y=340$$

-\frac{3y}{2}+\frac{9}{5} ला 300 वेळा गुणाकार करा.

$$-450y+540+200y=340$$

-450y ते 200y जोडा.

$$-250y+540=340$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 540 वजा करा.

$$-250y=-200$$

दोन्ही बाजूंना -250 ने विभागा.

$$y=\frac{4}{5}$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5} मध्ये y साठी \frac{4}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{4}{5}+\frac{9}{5}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{4}{5} चा -\frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{-6+9}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{9}{5} ते -\frac{6}{5} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{3}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{200\times 200-300\times 300}&-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}\\-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}&\frac{200}{200\times 200-300\times 300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}&\frac{3}{500}\\\frac{3}{500}&-\frac{1}{250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}\times 360+\frac{3}{500}\times 340\\\frac{3}{500}\times 360-\frac{1}{250}\times 340\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

200x आणि 300x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 300 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 200 ने गुणाकार करा.

$$300\times 200x+300\times 300y=300\times 360,200\times 300x+200\times 200y=200\times 340$$

सरलीकृत करा.

$$60000x+90000y=108000,60000x+40000y=68000$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 60000x+90000y=108000 मधून 60000x+40000y=68000 वजा करा.

$$60000x-60000x+90000y-40000y=108000-68000$$

60000x ते -60000x जोडा. 60000x आणि -60000x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$90000y-40000y=108000-68000$$

90000y ते -40000y जोडा.

$$50000y=108000-68000$$

108000 ते -68000 जोडा.

$$50000y=40000$$

दोन्ही बाजूंना 50000 ने विभागा.

$$y=\frac{4}{5}$$

300x+200y=340 मध्ये y साठी \frac{4}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$300x+200\times \frac{4}{5}=340$$

\frac{4}{5} ला 200 वेळा गुणाकार करा.

$$300x+160=340$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 160 वजा करा.

$$300x=180$$

दोन्ही बाजूंना 300 ने विभागा.

$$x=\frac{3}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$