{l}{20+x+y=115}{11x=8y} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 20 + x + y = 115 } \\ { 11 x = 8 y } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=40$$

$$y=55$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 20 वजा करा.

$$x+y=115-20$$

95 मिळविण्यासाठी 115 मधून 20 वजा करा.

$$x+y=95$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 8y वजा करा.

$$11x-8y=0$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+y=95$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$x=-y+95$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+95 चा विकल्प वापरा, 11x-8y=0.

$$11\left(-y+95\right)-8y=0$$

-y+95 ला 11 वेळा गुणाकार करा.

$$-11y+1045-8y=0$$

-11y ते -8y जोडा.

$$-19y+1045=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 1045 वजा करा.

$$-19y=-1045$$

दोन्ही बाजूंना -19 ने विभागा.

$$y=55$$

x=-y+95 मध्ये y साठी 55 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-55+95$$

95 ते -55 जोडा.

$$x=40$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=40,y=55$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 20 वजा करा.

$$x+y=115-20$$

95 मिळविण्यासाठी 115 मधून 20 वजा करा.

$$x+y=95$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 8y वजा करा.

$$11x-8y=0$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-11}&-\frac{1}{-8-11}\\-\frac{11}{-8-11}&\frac{1}{-8-11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{11}{19}&-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\times 95\\\frac{11}{19}\times 95\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\55\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=40,y=55$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 20 वजा करा.

$$x+y=115-20$$

95 मिळविण्यासाठी 115 मधून 20 वजा करा.

$$x+y=95$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 8y वजा करा.

$$11x-8y=0$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

x आणि 11x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 11 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$11x+11y=11\times 95,11x-8y=0$$

सरलीकृत करा.

$$11x+11y=1045,11x-8y=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 11x+11y=1045 मधून 11x-8y=0 वजा करा.

$$11x-11x+11y+8y=1045$$

11x ते -11x जोडा. 11x आणि -11x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$11y+8y=1045$$

11y ते 8y जोडा.

$$19y=1045$$

दोन्ही बाजूंना 19 ने विभागा.

$$y=55$$

11x-8y=0 मध्ये y साठी 55 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$11x-8\times 55=0$$

55 ला -8 वेळा गुणाकार करा.

$$11x-440=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 440 जोडा.

$$11x=440$$

दोन्ही बाजूंना 11 ने विभागा.

$$x=40$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=40,y=55$$