{l}{2x-y=4x-3}{2(x+y)=1} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 4 x - 3 } \\ { 2 ( x + y ) = 1 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y=-2$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 4x वजा करा.

$$2x-y-4x=-3$$

-2x मिळविण्यासाठी 2x आणि -4x एकत्र करा.

$$-2x-y=-3$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-2x-y=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$-2x=y-3$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{2}\left(y-3\right)$$

y-3 ला -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y+3}{2} चा विकल्प वापरा, x+y=\frac{1}{2}.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=\frac{1}{2}$$

-\frac{y}{2} ते y जोडा.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{3}{2} वजा करा.

$$\frac{1}{2}y=-1$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$y=-2$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}$$

-2 ला -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=1+\frac{3}{2}$$

\frac{3}{2} ते 1 जोडा.

$$x=\frac{5}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 4x वजा करा.

$$2x-y-4x=-3$$

-2x मिळविण्यासाठी 2x आणि -4x एकत्र करा.

$$-2x-y=-3$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-3\right)-\frac{1}{2}\\-3+2\times \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 4x वजा करा.

$$2x-y-4x=-3$$

-2x मिळविण्यासाठी 2x आणि -4x एकत्र करा.

$$-2x-y=-3$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

-2x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -2 ने गुणाकार करा.

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-2\times \frac{1}{2}$$

सरलीकृत करा.

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-1$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -2x-y=-3 मधून -2x-2y=-1 वजा करा.

$$-2x+2x-y+2y=-3+1$$

-2x ते 2x जोडा. -2x आणि 2x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-y+2y=-3+1$$

-y ते 2y जोडा.

$$y=-3+1$$

-3 ते 1 जोडा.

$$y=-2$$

x+y=\frac{1}{2} मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x-2=\frac{1}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2 जोडा.

$$x=\frac{5}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$