{l}{2x-7y=-5}{5x+3y=8} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 7 y = - 5 } \\ { 5 x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=1$$

$$y=1$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x-7y=-5,5x+3y=8$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x-7y=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 7y जोडा.

$$2x=7y-5$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(7y-5\right)$$

7y-5 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{7}{2}y-\frac{5}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{7y-5}{2} चा विकल्प वापरा, 5x+3y=8.

$$5\left(\frac{7}{2}y-\frac{5}{2}\right)+3y=8$$

\frac{7y-5}{2} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{35}{2}y-\frac{25}{2}+3y=8$$

\frac{35y}{2} ते 3y जोडा.

$$\frac{41}{2}y-\frac{25}{2}=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{25}{2} जोडा.

$$\frac{41}{2}y=\frac{41}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{41}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=1$$

x=\frac{7}{2}y-\frac{5}{2} मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{7-5}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{5}{2} ते \frac{7}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x-7y=-5,5x+3y=8$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-7\\5&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-7\times 5\right)}&-\frac{-7}{2\times 3-\left(-7\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 3-\left(-7\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-7\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}&\frac{7}{41}\\-\frac{5}{41}&\frac{2}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}\left(-5\right)+\frac{7}{41}\times 8\\-\frac{5}{41}\left(-5\right)+\frac{2}{41}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=1,y=1$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x-7y=-5,5x+3y=8$$

2x आणि 5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$5\times 2x+5\left(-7\right)y=5\left(-5\right),2\times 5x+2\times 3y=2\times 8$$

सरलीकृत करा.

$$10x-35y=-25,10x+6y=16$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 10x-35y=-25 मधून 10x+6y=16 वजा करा.

$$10x-10x-35y-6y=-25-16$$

10x ते -10x जोडा. 10x आणि -10x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-35y-6y=-25-16$$

-35y ते -6y जोडा.

$$-41y=-25-16$$

-25 ते -16 जोडा.

$$-41y=-41$$

दोन्ही बाजूंना -41 ने विभागा.

$$y=1$$

5x+3y=8 मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5x+3=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3 वजा करा.

$$5x=5$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=1$$