{l}{2x-3y=5}{x+3y=7} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 5 } \\ { x + 3 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=4$$

$$y=1$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x-3y=5,x+3y=7$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x-3y=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$2x=3y+5$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+5\right)$$

3y+5 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{3y+5}{2} चा विकल्प वापरा, x+3y=7.

$$\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}+3y=7$$

\frac{3y}{2} ते 3y जोडा.

$$\frac{9}{2}y+\frac{5}{2}=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{5}{2} वजा करा.

$$\frac{9}{2}y=\frac{9}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{9}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=1$$

x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2} मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{3+5}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{5}{2} ते \frac{3}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=4,y=1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x-3y=5,x+3y=7$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-3\\1&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 3-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5+\frac{1}{3}\times 7\\-\frac{1}{9}\times 5+\frac{2}{9}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=4,y=1$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x-3y=5,x+3y=7$$

2x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$2x-3y=5,2x+2\times 3y=2\times 7$$

सरलीकृत करा.

$$2x-3y=5,2x+6y=14$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2x-3y=5 मधून 2x+6y=14 वजा करा.

$$2x-2x-3y-6y=5-14$$

2x ते -2x जोडा. 2x आणि -2x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-3y-6y=5-14$$

-3y ते -6y जोडा.

$$-9y=5-14$$

5 ते -14 जोडा.

$$-9y=-9$$

दोन्ही बाजूंना -9 ने विभागा.

$$y=1$$

x+3y=7 मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+3=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3 वजा करा.

$$x=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=4,y=1$$