{l}{2x-3y=1}{x+1/3+1=5-y/2} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 1 } \\ { \frac { x + 1 } { 3 } + 1 = \frac { 5 - y } { 2 } } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=2$$

$$y=1$$

विकल्प वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 3,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2\left(x+1\right)+6=3\left(5-y\right)$$

2 ला x+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+2+6=3\left(5-y\right)$$

8 मिळविण्यासाठी 2 आणि 6 जोडा.

$$2x+8=3\left(5-y\right)$$

3 ला 5-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+8=15-3y$$

दोन्ही बाजूंना 3y जोडा.

$$2x+8+3y=15$$

दोन्ही बाजूंकडून 8 वजा करा.

$$2x+3y=15-8$$

7 मिळविण्यासाठी 15 मधून 8 वजा करा.

$$2x+3y=7$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x-3y=1,2x+3y=7$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x-3y=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$2x=3y+1$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+1\right)$$

3y+1 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{3y+1}{2} चा विकल्प वापरा, 2x+3y=7.

$$2\left(\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)+3y=7$$

\frac{3y+1}{2} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$3y+1+3y=7$$

3y ते 3y जोडा.

$$6y+1=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 1 वजा करा.

$$6y=6$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$y=1$$

x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2} मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{3+1}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{2} ते \frac{3}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 3,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2\left(x+1\right)+6=3\left(5-y\right)$$

2 ला x+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+2+6=3\left(5-y\right)$$

8 मिळविण्यासाठी 2 आणि 6 जोडा.

$$2x+8=3\left(5-y\right)$$

3 ला 5-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+8=15-3y$$

दोन्ही बाजूंना 3y जोडा.

$$2x+8+3y=15$$

दोन्ही बाजूंकडून 8 वजा करा.

$$2x+3y=15-8$$

7 मिळविण्यासाठी 15 मधून 8 वजा करा.

$$2x+3y=7$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x-3y=1,2x+3y=7$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 7\\-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=2,y=1$$

निष्कासन वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 3,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2\left(x+1\right)+6=3\left(5-y\right)$$

2 ला x+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+2+6=3\left(5-y\right)$$

8 मिळविण्यासाठी 2 आणि 6 जोडा.

$$2x+8=3\left(5-y\right)$$

3 ला 5-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+8=15-3y$$

दोन्ही बाजूंना 3y जोडा.

$$2x+8+3y=15$$

दोन्ही बाजूंकडून 8 वजा करा.

$$2x+3y=15-8$$

7 मिळविण्यासाठी 15 मधून 8 वजा करा.

$$2x+3y=7$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x-3y=1,2x+3y=7$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2x-3y=1 मधून 2x+3y=7 वजा करा.

$$2x-2x-3y-3y=1-7$$

2x ते -2x जोडा. 2x आणि -2x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-3y-3y=1-7$$

-3y ते -3y जोडा.

$$-6y=1-7$$

1 ते -7 जोडा.

$$-6y=-6$$

दोन्ही बाजूंना -6 ने विभागा.

$$y=1$$

2x+3y=7 मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+3=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3 वजा करा.

$$2x=4$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=1$$