{l}{2x-3y=-5}{4x+9y=-7} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = - 5 } \\ { 4 x + 9 y = - 7 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x-3y=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$2x=3y-5$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

3y-5 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{3y-5}{2} चा विकल्प वापरा, 4x+9y=-7.

$$4\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)+9y=-7$$

\frac{3y-5}{2} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$6y-10+9y=-7$$

6y ते 9y जोडा.

$$15y-10=-7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 10 जोडा.

$$15y=3$$

दोन्ही बाजूंना 15 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{5}$$

x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2} मध्ये y साठी \frac{1}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{1}{5}-\frac{5}{2}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{1}{5} चा \frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{3}{10}-\frac{5}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{5}{2} ते \frac{3}{10} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-\frac{11}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\left(-5\right)+\frac{1}{10}\left(-7\right)\\-\frac{2}{15}\left(-5\right)+\frac{1}{15}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

2x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-5\right),2\times 4x+2\times 9y=2\left(-7\right)$$

सरलीकृत करा.

$$8x-12y=-20,8x+18y=-14$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 8x-12y=-20 मधून 8x+18y=-14 वजा करा.

$$8x-8x-12y-18y=-20+14$$

8x ते -8x जोडा. 8x आणि -8x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-12y-18y=-20+14$$

-12y ते -18y जोडा.

$$-30y=-20+14$$

-20 ते 14 जोडा.

$$-30y=-6$$

दोन्ही बाजूंना -30 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{5}$$

4x+9y=-7 मध्ये y साठी \frac{1}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x+9\times \frac{1}{5}=-7$$

\frac{1}{5} ला 9 वेळा गुणाकार करा.

$$4x+\frac{9}{5}=-7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{9}{5} वजा करा.

$$4x=-\frac{44}{5}$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=-\frac{11}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$