{l}{2x-15=3(y+2)}{7(x-4)=-1-5y} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 15 = 3 ( y + 2 ) } \\ { 7 ( x - 4 ) = - 1 - 5 y } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=6$$

$$y=-3$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला y+2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x-15=3y+6$$

दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$2x-15-3y=6$$

दोन्ही बाजूंना 15 जोडा.

$$2x-3y=6+15$$

21 मिळविण्यासाठी 6 आणि 15 जोडा.

$$2x-3y=21$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 7 ला x-4 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$7x-28=-1-5y$$

दोन्ही बाजूंना 5y जोडा.

$$7x-28+5y=-1$$

दोन्ही बाजूंना 28 जोडा.

$$7x+5y=-1+28$$

27 मिळविण्यासाठी -1 आणि 28 जोडा.

$$7x+5y=27$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x-3y=21$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$2x=3y+21$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+21\right)$$

21+3y ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{21+3y}{2} चा विकल्प वापरा, 7x+5y=27.

$$7\left(\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}\right)+5y=27$$

\frac{21+3y}{2} ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{21}{2}y+\frac{147}{2}+5y=27$$

\frac{21y}{2} ते 5y जोडा.

$$\frac{31}{2}y+\frac{147}{2}=27$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{147}{2} वजा करा.

$$\frac{31}{2}y=-\frac{93}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{31}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-3$$

x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2} मध्ये y साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+\frac{21}{2}$$

-3 ला \frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-9+21}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{21}{2} ते -\frac{9}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=6,y=-3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला y+2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x-15=3y+6$$

दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$2x-15-3y=6$$

दोन्ही बाजूंना 15 जोडा.

$$2x-3y=6+15$$

21 मिळविण्यासाठी 6 आणि 15 जोडा.

$$2x-3y=21$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 7 ला x-4 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$7x-28=-1-5y$$

दोन्ही बाजूंना 5y जोडा.

$$7x-28+5y=-1$$

दोन्ही बाजूंना 28 जोडा.

$$7x+5y=-1+28$$

27 मिळविण्यासाठी -1 आणि 28 जोडा.

$$7x+5y=27$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{3}{31}\\-\frac{7}{31}&\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 21+\frac{3}{31}\times 27\\-\frac{7}{31}\times 21+\frac{2}{31}\times 27\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=6,y=-3$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला y+2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x-15=3y+6$$

दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$2x-15-3y=6$$

दोन्ही बाजूंना 15 जोडा.

$$2x-3y=6+15$$

21 मिळविण्यासाठी 6 आणि 15 जोडा.

$$2x-3y=21$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 7 ला x-4 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$7x-28=-1-5y$$

दोन्ही बाजूंना 5y जोडा.

$$7x-28+5y=-1$$

दोन्ही बाजूंना 28 जोडा.

$$7x+5y=-1+28$$

27 मिळविण्यासाठी -1 आणि 28 जोडा.

$$7x+5y=27$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

2x आणि 7x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$7\times 2x+7\left(-3\right)y=7\times 21,2\times 7x+2\times 5y=2\times 27$$

सरलीकृत करा.

$$14x-21y=147,14x+10y=54$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 14x-21y=147 मधून 14x+10y=54 वजा करा.

$$14x-14x-21y-10y=147-54$$

14x ते -14x जोडा. 14x आणि -14x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-21y-10y=147-54$$

-21y ते -10y जोडा.

$$-31y=147-54$$

147 ते -54 जोडा.

$$-31y=93$$

दोन्ही बाजूंना -31 ने विभागा.

$$y=-3$$

7x+5y=27 मध्ये y साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$7x+5\left(-3\right)=27$$

-3 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$7x-15=27$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 15 जोडा.

$$7x=42$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=6,y=-3$$