{l}{2x+y=6}{4x-y=7} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 6 } \\ { 4 x - y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6} \approx 2.166666667$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+y=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$2x=-y+6$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)$$

-y+6 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{y}{2}+3 चा विकल्प वापरा, 4x-y=7.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+3\right)-y=7$$

-\frac{y}{2}+3 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-2y+12-y=7$$

-2y ते -y जोडा.

$$-3y+12=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 12 वजा करा.

$$-3y=-5$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$y=\frac{5}{3}$$

x=-\frac{1}{2}y+3 मध्ये y साठी \frac{5}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{5}{3}+3$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{5}{3} चा -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{5}{6}+3$$

3 ते -\frac{5}{6} जोडा.

$$x=\frac{13}{6}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 6+\frac{1}{6}\times 7\\\frac{2}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

2x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$4\times 2x+4y=4\times 6,2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\times 7$$

सरलीकृत करा.

$$8x+4y=24,8x-2y=14$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 8x+4y=24 मधून 8x-2y=14 वजा करा.

$$8x-8x+4y+2y=24-14$$

8x ते -8x जोडा. 8x आणि -8x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$4y+2y=24-14$$

4y ते 2y जोडा.

$$6y=24-14$$

24 ते -14 जोडा.

$$6y=10$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$y=\frac{5}{3}$$

4x-y=7 मध्ये y साठी \frac{5}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x-\frac{5}{3}=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{5}{3} जोडा.

$$4x=\frac{26}{3}$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{13}{6}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$