{l}{2x+9y=19}{4x+my=53} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 9 y = 19 } \\ { 4 x + m y = 53 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-\frac{477-19m}{2\left(m-18\right)}$$

$$y=\frac{15}{m-18}$$

$$m\neq 18$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+9y=19$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 9y वजा करा.

$$2x=-9y+19$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y+19\right)$$

-9y+19 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-9y+19}{2} चा विकल्प वापरा, 4x+my=53.

$$4\left(-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}\right)+my=53$$

\frac{-9y+19}{2} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-18y+38+my=53$$

-18y ते my जोडा.

$$\left(m-18\right)y+38=53$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 38 वजा करा.

$$\left(m-18\right)y=15$$

दोन्ही बाजूंना -18+m ने विभागा.

$$y=\frac{15}{m-18}$$

x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2} मध्ये y साठी \frac{15}{-18+m} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{9}{2}\times \frac{15}{m-18}+\frac{19}{2}$$

\frac{15}{-18+m} ला -\frac{9}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{135}{2\left(m-18\right)}+\frac{19}{2}$$

\frac{19}{2} ते -\frac{135}{2\left(-18+m\right)} जोडा.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2m-9\times 4}&-\frac{9}{2m-9\times 4}\\-\frac{4}{2m-9\times 4}&\frac{2}{2m-9\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}&-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\\-\frac{2}{m-18}&\frac{1}{m-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}\times 19+\left(-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\right)\times 53\\\left(-\frac{2}{m-18}\right)\times 19+\frac{1}{m-18}\times 53\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}\\\frac{15}{m-18}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

2x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$4\times 2x+4\times 9y=4\times 19,2\times 4x+2my=2\times 53$$

सरलीकृत करा.

$$8x+36y=76,8x+2my=106$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 8x+36y=76 मधून 8x+2my=106 वजा करा.

$$8x-8x+36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

8x ते -8x जोडा. 8x आणि -8x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

36y ते -2my जोडा.

$$\left(36-2m\right)y=76-106$$

76 ते -106 जोडा.

$$\left(36-2m\right)y=-30$$

दोन्ही बाजूंना 36-2m ने विभागा.

$$y=-\frac{15}{18-m}$$

4x+my=53 मध्ये y साठी -\frac{15}{18-m} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x+m\left(-\frac{15}{18-m}\right)=53$$

-\frac{15}{18-m} ला m वेळा गुणाकार करा.

$$4x-\frac{15m}{18-m}=53$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{15m}{18-m} जोडा.

$$4x=\frac{2\left(477-19m\right)}{18-m}$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)},y=-\frac{15}{18-m}$$