{l}{2x+8y=16}{11-x+2y=0} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 8 y = 16 } \\ { 11 - x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=10$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+8y=16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8y वजा करा.

$$2x=-8y+16$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y+16\right)$$

-8y+16 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-4y+8$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -4y+8 चा विकल्प वापरा, -x+2y+11=0.

$$-\left(-4y+8\right)+2y+11=0$$

-4y+8 ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$4y-8+2y+11=0$$

4y ते 2y जोडा.

$$6y-8+11=0$$

-8 ते 11 जोडा.

$$6y+3=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3 वजा करा.

$$6y=-3$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$y=-\frac{1}{2}$$

x=-4y+8 मध्ये y साठी -\frac{1}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-4\left(-\frac{1}{2}\right)+8$$

-\frac{1}{2} ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$x=2+8$$

8 ते 2 जोडा.

$$x=10$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}&-\frac{8}{2\times 2-8\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2\times 2-8\left(-1\right)}&\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 16-\frac{2}{3}\left(-11\right)\\\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{6}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

2x आणि -x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$-2x-8y=-16,2\left(-1\right)x+2\times 2y+2\times 11=0$$

सरलीकृत करा.

$$-2x-8y=-16,-2x+4y+22=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -2x-8y=-16 मधून -2x+4y+22=0 वजा करा.

$$-2x+2x-8y-4y-22=-16$$

-2x ते 2x जोडा. -2x आणि 2x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-8y-4y-22=-16$$

-8y ते -4y जोडा.

$$-12y-22=-16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 22 जोडा.

$$-12y=6$$

दोन्ही बाजूंना -12 ने विभागा.

$$y=-\frac{1}{2}$$

-x+2y+11=0 मध्ये y साठी -\frac{1}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-x+2\left(-\frac{1}{2}\right)+11=0$$

-\frac{1}{2} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-x-1+11=0$$

-1 ते 11 जोडा.

$$-x+10=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 10 वजा करा.

$$-x=-10$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$x=10$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$