{l}{2x+5y=1}{-2x+y=5} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 1 } \\ { - 2 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-2$$

$$y=1$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+5y=1,-2x+y=5$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+5y=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5y वजा करा.

$$2x=-5y+1$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+1\right)$$

-5y+1 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-5y+1}{2} चा विकल्प वापरा, -2x+y=5.

$$-2\left(-\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}\right)+y=5$$

\frac{-5y+1}{2} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$5y-1+y=5$$

5y ते y जोडा.

$$6y-1=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 1 जोडा.

$$6y=6$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$y=1$$

x=-\frac{5}{2}y+\frac{1}{2} मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{-5+1}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{2} ते -\frac{5}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-2,y=1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+5y=1,-2x+y=5$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{2-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2-5\left(-2\right)}&\frac{2}{2-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&-\frac{5}{12}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}-\frac{5}{12}\times 5\\\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-2,y=1$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+5y=1,-2x+y=5$$

2x आणि -2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$-2\times 2x-2\times 5y=-2,2\left(-2\right)x+2y=2\times 5$$

सरलीकृत करा.

$$-4x-10y=-2,-4x+2y=10$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -4x-10y=-2 मधून -4x+2y=10 वजा करा.

$$-4x+4x-10y-2y=-2-10$$

-4x ते 4x जोडा. -4x आणि 4x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-10y-2y=-2-10$$

-10y ते -2y जोडा.

$$-12y=-2-10$$

-2 ते -10 जोडा.

$$-12y=-12$$

दोन्ही बाजूंना -12 ने विभागा.

$$y=1$$

-2x+y=5 मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-2x+1=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 1 वजा करा.

$$-2x=4$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-2,y=1$$