{l}{2x+5y=-8}{2x+3y=-4} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = - 8 } \\ { 2 x + 3 y = - 4 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=1$$

$$y=-2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+5y=-8,2x+3y=-4$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+5y=-8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5y वजा करा.

$$2x=-5y-8$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y-8\right)$$

-5y-8 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{5}{2}y-4$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{5y}{2}-4 चा विकल्प वापरा, 2x+3y=-4.

$$2\left(-\frac{5}{2}y-4\right)+3y=-4$$

-\frac{5y}{2}-4 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-5y-8+3y=-4$$

-5y ते 3y जोडा.

$$-2y-8=-4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 8 जोडा.

$$-2y=4$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$y=-2$$

x=-\frac{5}{2}y-4 मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-2\right)-4$$

-2 ला -\frac{5}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=5-4$$

-4 ते 5 जोडा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=-2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+5y=-8,2x+3y=-4$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-4\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&5\\2&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-4\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{2\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{2\times 3-5\times 2}&\frac{2}{2\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{5}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\left(-8\right)+\frac{5}{4}\left(-4\right)\\\frac{1}{2}\left(-8\right)-\frac{1}{2}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=1,y=-2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+5y=-8,2x+3y=-4$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2x+5y=-8 मधून 2x+3y=-4 वजा करा.

$$2x-2x+5y-3y=-8+4$$

2x ते -2x जोडा. 2x आणि -2x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$5y-3y=-8+4$$

5y ते -3y जोडा.

$$2y=-8+4$$

-8 ते 4 जोडा.

$$2y=-4$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=-2$$

2x+3y=-4 मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+3\left(-2\right)=-4$$

-2 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$2x-6=-4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 6 जोडा.

$$2x=2$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=-2$$