{l}{2x+3y=7,80}{5x+4y=13,20} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 7,80 } \\ { 5 x + 4 y = 13,20 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=1.2$$

$$y=1.8$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+3y=7.8,5x+4y=13.2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+3y=7.8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$2x=-3y+7.8$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+7.8\right)$$

-3y+7.8 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{39}{10}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{3y}{2}+\frac{39}{10} चा विकल्प वापरा, 5x+4y=13.2.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+\frac{39}{10}\right)+4y=13.2$$

-\frac{3y}{2}+\frac{39}{10} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{39}{2}+4y=13.2$$

-\frac{15y}{2} ते 4y जोडा.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{39}{2}=13.2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{39}{2} वजा करा.

$$-\frac{7}{2}y=-\frac{63}{10}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{7}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{9}{5}$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{39}{10} मध्ये y साठी \frac{9}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{9}{5}+\frac{39}{10}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{9}{5} चा -\frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{-27+39}{10}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{39}{10} ते -\frac{27}{10} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{6}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{9}{5}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+3y=7.8,5x+4y=13.2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7.8\\13.2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7.8\\13.2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7.8\\13.2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7.8\\13.2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 4-3\times 5}&\frac{2}{2\times 4-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7.8\\13.2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{5}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7.8\\13.2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}\times 7.8+\frac{3}{7}\times 13.2\\\frac{5}{7}\times 7.8-\frac{2}{7}\times 13.2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{9}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{9}{5}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+3y=7.8,5x+4y=13.2$$

2x आणि 5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 7.8,2\times 5x+2\times 4y=2\times 13.2$$

सरलीकृत करा.

$$10x+15y=39,10x+8y=26.4$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 10x+15y=39 मधून 10x+8y=26.4 वजा करा.

$$10x-10x+15y-8y=39-26.4$$

10x ते -10x जोडा. 10x आणि -10x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$15y-8y=39-26.4$$

15y ते -8y जोडा.

$$7y=39-26.4$$

39 ते -26.4 जोडा.

$$7y=12.6$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$y=\frac{9}{5}$$

5x+4y=13.2 मध्ये y साठी \frac{9}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5x+4\times \frac{9}{5}=13.2$$

\frac{9}{5} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$5x+\frac{36}{5}=13.2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{36}{5} वजा करा.

$$5x=6$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{6}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{9}{5}$$