{l}{2x+10=4y-16x}{10y-10x=11y-12x} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 10 = 4 y - 16 x } \\ { 10 y - 10 x = 11 y - 12 x } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-1$$

$$y=-2$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 4y वजा करा.

$$2x+10-4y=-16x$$

दोन्ही बाजूंना 16x जोडा.

$$2x+10-4y+16x=0$$

18x मिळविण्यासाठी 2x आणि 16x एकत्र करा.

$$18x+10-4y=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 10 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$18x-4y=-10$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 11y वजा करा.

$$10y-10x-11y=-12x$$

-y मिळविण्यासाठी 10y आणि -11y एकत्र करा.

$$-y-10x=-12x$$

दोन्ही बाजूंना 12x जोडा.

$$-y-10x+12x=0$$

2x मिळविण्यासाठी -10x आणि 12x एकत्र करा.

$$-y+2x=0$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$18x-4y=-10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4y जोडा.

$$18x=4y-10$$

दोन्ही बाजूंना 18 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{18}\left(4y-10\right)$$

4y-10 ला \frac{1}{18} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{2y-5}{9} चा विकल्प वापरा, 2x-y=0.

$$2\left(\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}\right)-y=0$$

\frac{2y-5}{9} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{4}{9}y-\frac{10}{9}-y=0$$

\frac{4y}{9} ते -y जोडा.

$$-\frac{5}{9}y-\frac{10}{9}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{10}{9} जोडा.

$$-\frac{5}{9}y=\frac{10}{9}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{5}{9} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-2$$

x=\frac{2}{9}y-\frac{5}{9} मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{2}{9}\left(-2\right)-\frac{5}{9}$$

-2 ला \frac{2}{9} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-4-5}{9}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{5}{9} ते -\frac{4}{9} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-1,y=-2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 4y वजा करा.

$$2x+10-4y=-16x$$

दोन्ही बाजूंना 16x जोडा.

$$2x+10-4y+16x=0$$

18x मिळविण्यासाठी 2x आणि 16x एकत्र करा.

$$18x+10-4y=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 10 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$18x-4y=-10$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 11y वजा करा.

$$10y-10x-11y=-12x$$

-y मिळविण्यासाठी 10y आणि -11y एकत्र करा.

$$-y-10x=-12x$$

दोन्ही बाजूंना 12x जोडा.

$$-y-10x+12x=0$$

2x मिळविण्यासाठी -10x आणि 12x एकत्र करा.

$$-y+2x=0$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{18}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&-\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{9}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\left(-10\right)\\\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-1,y=-2$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 4y वजा करा.

$$2x+10-4y=-16x$$

दोन्ही बाजूंना 16x जोडा.

$$2x+10-4y+16x=0$$

18x मिळविण्यासाठी 2x आणि 16x एकत्र करा.

$$18x+10-4y=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 10 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$18x-4y=-10$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 11y वजा करा.

$$10y-10x-11y=-12x$$

-y मिळविण्यासाठी 10y आणि -11y एकत्र करा.

$$-y-10x=-12x$$

दोन्ही बाजूंना 12x जोडा.

$$-y-10x+12x=0$$

2x मिळविण्यासाठी -10x आणि 12x एकत्र करा.

$$-y+2x=0$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

18x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 18 ने गुणाकार करा.

$$2\times 18x+2\left(-4\right)y=2\left(-10\right),18\times 2x+18\left(-1\right)y=0$$

सरलीकृत करा.

$$36x-8y=-20,36x-18y=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 36x-8y=-20 मधून 36x-18y=0 वजा करा.

$$36x-36x-8y+18y=-20$$

36x ते -36x जोडा. 36x आणि -36x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-8y+18y=-20$$

-8y ते 18y जोडा.

$$10y=-20$$

दोन्ही बाजूंना 10 ने विभागा.

$$y=-2$$

2x-y=0 मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x-\left(-2\right)=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2 वजा करा.

$$2x=-2$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-1,y=-2$$