{l}{2m-3n=130}{-m+5=4n} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = 130 } \\ { - m + 5 = 4 n } \end{array} \right.$$

m, n साठी सोडवा

$$m = \frac{535}{11} = 48\frac{7}{11} \approx 48.636363636$$

$$n = -\frac{120}{11} = -10\frac{10}{11} \approx -10.909090909$$

विकल्प वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 4n वजा करा.

$$-m+5-4n=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 5 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$-m-4n=-5$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला m विलग करून, m साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2m-3n=130$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3n जोडा.

$$2m=3n+130$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n+130\right)$$

3n+130 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$m=\frac{3}{2}n+65$$

इतर समीकरणामध्ये m साठी \frac{3n}{2}+65 चा विकल्प वापरा, -m-4n=-5.

$$-\left(\frac{3}{2}n+65\right)-4n=-5$$

\frac{3n}{2}+65 ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{3}{2}n-65-4n=-5$$

-\frac{3n}{2} ते -4n जोडा.

$$-\frac{11}{2}n-65=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 65 जोडा.

$$-\frac{11}{2}n=60$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{11}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$n=-\frac{120}{11}$$

m=\frac{3}{2}n+65 मध्ये n साठी -\frac{120}{11} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण m साठी थेट सोडवू शकता.

$$m=\frac{3}{2}\left(-\frac{120}{11}\right)+65$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{120}{11} चा \frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$m=-\frac{180}{11}+65$$

65 ते -\frac{180}{11} जोडा.

$$m=\frac{535}{11}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 4n वजा करा.

$$-m+5-4n=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 5 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$-m-4n=-5$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 130-\frac{3}{11}\left(-5\right)\\-\frac{1}{11}\times 130-\frac{2}{11}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{535}{11}\\-\frac{120}{11}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे m आणि n घटक बाहेर काढा.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

निष्कासन वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 4n वजा करा.

$$-m+5-4n=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 5 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$-m-4n=-5$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

2m आणि -m समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$-2m-\left(-3n\right)=-130,2\left(-1\right)m+2\left(-4\right)n=2\left(-5\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-2m+3n=-130,-2m-8n=-10$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -2m+3n=-130 मधून -2m-8n=-10 वजा करा.

$$-2m+2m+3n+8n=-130+10$$

-2m ते 2m जोडा. -2m आणि 2m रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$3n+8n=-130+10$$

3n ते 8n जोडा.

$$11n=-130+10$$

-130 ते 10 जोडा.

$$11n=-120$$

दोन्ही बाजूंना 11 ने विभागा.

$$n=-\frac{120}{11}$$

-m-4n=-5 मध्ये n साठी -\frac{120}{11} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण m साठी थेट सोडवू शकता.

$$-m-4\left(-\frac{120}{11}\right)=-5$$

-\frac{120}{11} ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$-m+\frac{480}{11}=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{480}{11} वजा करा.

$$-m=-\frac{535}{11}$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$m=\frac{535}{11}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$