{l}{2m+3n=22}{m-2n=6} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 22 } \\ { m - 2 n = 6 } \end{array} \right.$$

m, n साठी सोडवा

$$m = \frac{62}{7} = 8\frac{6}{7} \approx 8.857142857$$

$$n = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \approx 1.428571429$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला m विलग करून, m साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2m+3n=22$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3n वजा करा.

$$2m=-3n+22$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+22\right)$$

-3n+22 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$m=-\frac{3}{2}n+11$$

इतर समीकरणामध्ये m साठी -\frac{3n}{2}+11 चा विकल्प वापरा, m-2n=6.

$$-\frac{3}{2}n+11-2n=6$$

-\frac{3n}{2} ते -2n जोडा.

$$-\frac{7}{2}n+11=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 11 वजा करा.

$$-\frac{7}{2}n=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{7}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$n=\frac{10}{7}$$

m=-\frac{3}{2}n+11 मध्ये n साठी \frac{10}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण m साठी थेट सोडवू शकता.

$$m=-\frac{3}{2}\times \frac{10}{7}+11$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{10}{7} चा -\frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$m=-\frac{15}{7}+11$$

11 ते -\frac{15}{7} जोडा.

$$m=\frac{62}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 22+\frac{3}{7}\times 6\\\frac{1}{7}\times 22-\frac{2}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{62}{7}\\\frac{10}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे m आणि n घटक बाहेर काढा.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

2m आणि m समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$2m+3n=22,2m+2\left(-2\right)n=2\times 6$$

सरलीकृत करा.

$$2m+3n=22,2m-4n=12$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2m+3n=22 मधून 2m-4n=12 वजा करा.

$$2m-2m+3n+4n=22-12$$

2m ते -2m जोडा. 2m आणि -2m रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$3n+4n=22-12$$

3n ते 4n जोडा.

$$7n=22-12$$

22 ते -12 जोडा.

$$7n=10$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$n=\frac{10}{7}$$

m-2n=6 मध्ये n साठी \frac{10}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण m साठी थेट सोडवू शकता.

$$m-2\times \frac{10}{7}=6$$

\frac{10}{7} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$m-\frac{20}{7}=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{20}{7} जोडा.

$$m=\frac{62}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$