{l}{2ax+by=14}{-2x+9y=-19} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a x + b y = 14 } \\ { - 2 x + 9 y = - 19 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2ax+by=14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून by वजा करा.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

दोन्ही बाजूंना 2a ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

-by+14 ला \frac{1}{2a} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-by+14}{2a} चा विकल्प वापरा, -2x+9y=-19.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

\frac{-by+14}{2a} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

\frac{by}{a} ते 9y जोडा.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{14}{a} जोडा.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

दोन्ही बाजूंना 9+\frac{b}{a} ने विभागा.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a} मध्ये y साठी \frac{14-19a}{9a+b} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

\frac{14-19a}{9a+b} ला -\frac{b}{2a} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

\frac{7}{a} ते -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)} जोडा.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

2ax आणि -2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2a ने गुणाकार करा.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

सरलीकृत करा.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 मधून \left(-4a\right)x+18ay=-38a वजा करा.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

-4ax ते 4ax जोडा. -4ax आणि 4ax रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

-2by ते -18ay जोडा.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

-28 ते 38a जोडा.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

दोन्ही बाजूंना -2b-18a ने विभागा.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

-2x+9y=-19 मध्ये y साठी -\frac{-14+19a}{b+9a} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

-\frac{-14+19a}{b+9a} ला 9 वेळा गुणाकार करा.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} जोडा.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$