{l}{2a=3b}{7a+2b=200} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a = 3 b } \\ { 7 a + 2 b = 200 } \end{array} \right.$$

a, b साठी सोडवा

$$a=24$$

$$b=16$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3b वजा करा.

$$2a-3b=0$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला a विलग करून, a साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2a-3b=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3b जोडा.

$$2a=3b$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$a=\frac{1}{2}\times 3b$$

3b ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$a=\frac{3}{2}b$$

इतर समीकरणामध्ये a साठी \frac{3b}{2} चा विकल्प वापरा, 7a+2b=200.

$$7\times \frac{3}{2}b+2b=200$$

\frac{3b}{2} ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{21}{2}b+2b=200$$

\frac{21b}{2} ते 2b जोडा.

$$\frac{25}{2}b=200$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{25}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$b=16$$

a=\frac{3}{2}b मध्ये b साठी 16 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$a=\frac{3}{2}\times 16$$

16 ला \frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$a=24$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=24,b=16$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3b वजा करा.

$$2a-3b=0$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{25}&\frac{3}{25}\\-\frac{7}{25}&\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 200\\\frac{2}{25}\times 200\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे a आणि b घटक बाहेर काढा.

$$a=24,b=16$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3b वजा करा.

$$2a-3b=0$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

2a आणि 7a समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$7\times 2a+7\left(-3\right)b=0,2\times 7a+2\times 2b=2\times 200$$

सरलीकृत करा.

$$14a-21b=0,14a+4b=400$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 14a-21b=0 मधून 14a+4b=400 वजा करा.

$$14a-14a-21b-4b=-400$$

14a ते -14a जोडा. 14a आणि -14a रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-21b-4b=-400$$

-21b ते -4b जोडा.

$$-25b=-400$$

दोन्ही बाजूंना -25 ने विभागा.

$$b=16$$

7a+2b=200 मध्ये b साठी 16 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$7a+2\times 16=200$$

16 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$7a+32=200$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 32 वजा करा.

$$7a=168$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$a=24$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=24,b=16$$