{l}{2a+3b=4}{-2a+3b=-16} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a + 3 b = 4 } \\ { - 2 a + 3 b = - 16 } \end{array} \right.$$

a, b साठी सोडवा

$$a=5$$

$$b=-2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला a विलग करून, a साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2a+3b=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3b वजा करा.

$$2a=-3b+4$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$a=\frac{1}{2}\left(-3b+4\right)$$

-3b+4 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$a=-\frac{3}{2}b+2$$

इतर समीकरणामध्ये a साठी -\frac{3b}{2}+2 चा विकल्प वापरा, -2a+3b=-16.

$$-2\left(-\frac{3}{2}b+2\right)+3b=-16$$

-\frac{3b}{2}+2 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$3b-4+3b=-16$$

3b ते 3b जोडा.

$$6b-4=-16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4 जोडा.

$$6b=-12$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$b=-2$$

a=-\frac{3}{2}b+2 मध्ये b साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$a=-\frac{3}{2}\left(-2\right)+2$$

-2 ला -\frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$a=3+2$$

2 ते 3 जोडा.

$$a=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=5,b=-2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-3\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4-\frac{1}{4}\left(-16\right)\\\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे a आणि b घटक बाहेर काढा.

$$a=5,b=-2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2a+3b=4 मधून -2a+3b=-16 वजा करा.

$$2a+2a+3b-3b=4+16$$

3b ते -3b जोडा. 3b आणि -3b रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2a+2a=4+16$$

2a ते 2a जोडा.

$$4a=4+16$$

4 ते 16 जोडा.

$$4a=20$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$a=5$$

-2a+3b=-16 मध्ये a साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण b साठी थेट सोडवू शकता.

$$-2\times 5+3b=-16$$

5 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$-10+3b=-16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 10 जोडा.

$$3b=-6$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$b=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=5,b=-2$$