{l}{2-y=2(6x+3)+y}{x+4=3y} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 - y = 2 ( 6 x + 3 ) + y } \\ { x + 4 = 3 y } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=-\frac{10}{19}\approx -0.526315789$$

$$y = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला 6x+3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2-y=12x+6+y$$

दोन्ही बाजूंकडून 12x वजा करा.

$$2-y-12x=6+y$$

दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$2-y-12x-y=6$$

-2y मिळविण्यासाठी -y आणि -y एकत्र करा.

$$2-2y-12x=6$$

दोन्ही बाजूंकडून 2 वजा करा.

$$-2y-12x=6-2$$

4 मिळविण्यासाठी 6 मधून 2 वजा करा.

$$-2y-12x=4$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$x+4-3y=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 4 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$x-3y=-4$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-2y-12x=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 12x जोडा.

$$-2y=12x+4$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$y=-\frac{1}{2}\left(12x+4\right)$$

12x+4 ला -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$y=-6x-2$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी -6x-2 चा विकल्प वापरा, -3y+x=-4.

$$-3\left(-6x-2\right)+x=-4$$

-6x-2 ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$18x+6+x=-4$$

18x ते x जोडा.

$$19x+6=-4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6 वजा करा.

$$19x=-10$$

दोन्ही बाजूंना 19 ने विभागा.

$$x=-\frac{10}{19}$$

y=-6x-2 मध्ये x साठी -\frac{10}{19} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=-6\left(-\frac{10}{19}\right)-2$$

-\frac{10}{19} ला -6 वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{60}{19}-2$$

-2 ते \frac{60}{19} जोडा.

$$y=\frac{22}{19}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला 6x+3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2-y=12x+6+y$$

दोन्ही बाजूंकडून 12x वजा करा.

$$2-y-12x=6+y$$

दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$2-y-12x-y=6$$

-2y मिळविण्यासाठी -y आणि -y एकत्र करा.

$$2-2y-12x=6$$

दोन्ही बाजूंकडून 2 वजा करा.

$$-2y-12x=6-2$$

4 मिळविण्यासाठी 6 मधून 2 वजा करा.

$$-2y-12x=4$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$x+4-3y=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 4 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$x-3y=-4$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{-12}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}&-\frac{6}{19}\\-\frac{3}{38}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}\times 4-\frac{6}{19}\left(-4\right)\\-\frac{3}{38}\times 4+\frac{1}{19}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\-\frac{10}{19}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला 6x+3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2-y=12x+6+y$$

दोन्ही बाजूंकडून 12x वजा करा.

$$2-y-12x=6+y$$

दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$2-y-12x-y=6$$

-2y मिळविण्यासाठी -y आणि -y एकत्र करा.

$$2-2y-12x=6$$

दोन्ही बाजूंकडून 2 वजा करा.

$$-2y-12x=6-2$$

4 मिळविण्यासाठी 6 मधून 2 वजा करा.

$$-2y-12x=4$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$x+4-3y=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 4 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$x-3y=-4$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

-2y आणि -3y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -2 ने गुणाकार करा.

$$-3\left(-2\right)y-3\left(-12\right)x=-3\times 4,-2\left(-3\right)y-2x=-2\left(-4\right)$$

सरलीकृत करा.

$$6y+36x=-12,6y-2x=8$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6y+36x=-12 मधून 6y-2x=8 वजा करा.

$$6y-6y+36x+2x=-12-8$$

6y ते -6y जोडा. 6y आणि -6y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$36x+2x=-12-8$$

36x ते 2x जोडा.

$$38x=-12-8$$

-12 ते -8 जोडा.

$$38x=-20$$

दोन्ही बाजूंना 38 ने विभागा.

$$x=-\frac{10}{19}$$

-3y+x=-4 मध्ये x साठी -\frac{10}{19} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$-3y-\frac{10}{19}=-4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{10}{19} जोडा.

$$-3y=-\frac{66}{19}$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$y=\frac{22}{19}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$