{l}{2(x+3)=3(y+1)+1}{3(x-y-1)=2(x-2)} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 3 ) = 3 ( y + 1 ) + 1 } \\ { 3 ( x - y - 1 ) = 2 ( x - 2 ) } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-1$$

$$y=0$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला x+3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

3 ला y+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+6=3y+3+1$$

4 मिळविण्यासाठी 3 आणि 1 जोडा.

$$2x+6=3y+4$$

दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$2x+6-3y=4$$

दोन्ही बाजूंकडून 6 वजा करा.

$$2x-3y=4-6$$

-2 मिळविण्यासाठी 4 मधून 6 वजा करा.

$$2x-3y=-2$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला x-y-1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)$$

2 ला x-2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x-3y-3=2x-4$$

दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$3x-3y-3-2x=-4$$

x मिळविण्यासाठी 3x आणि -2x एकत्र करा.

$$x-3y-3=-4$$

दोन्ही बाजूंना 3 जोडा.

$$x-3y=-4+3$$

-1 मिळविण्यासाठी -4 आणि 3 जोडा.

$$x-3y=-1$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x-3y=-2,x-3y=-1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x-3y=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$2x=3y-2$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

3y-2 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{3y}{2}-1 चा विकल्प वापरा, x-3y=-1.

$$\frac{3}{2}y-1-3y=-1$$

\frac{3y}{2} ते -3y जोडा.

$$-\frac{3}{2}y-1=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 1 जोडा.

$$-\frac{3}{2}y=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{3}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=0$$

x=\frac{3}{2}y-1 मध्ये y साठी 0 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-1,y=0$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला x+3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

3 ला y+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+6=3y+3+1$$

4 मिळविण्यासाठी 3 आणि 1 जोडा.

$$2x+6=3y+4$$

दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$2x+6-3y=4$$

दोन्ही बाजूंकडून 6 वजा करा.

$$2x-3y=4-6$$

-2 मिळविण्यासाठी 4 मधून 6 वजा करा.

$$2x-3y=-2$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला x-y-1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)$$

2 ला x-2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x-3y-3=2x-4$$

दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$3x-3y-3-2x=-4$$

x मिळविण्यासाठी 3x आणि -2x एकत्र करा.

$$x-3y-3=-4$$

दोन्ही बाजूंना 3 जोडा.

$$x-3y=-4+3$$

-1 मिळविण्यासाठी -4 आणि 3 जोडा.

$$x-3y=-1$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x-3y=-2,x-3y=-1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2-\left(-1\right)\\\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-1,y=0$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला x+3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

3 ला y+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+6=3y+3+1$$

4 मिळविण्यासाठी 3 आणि 1 जोडा.

$$2x+6=3y+4$$

दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$2x+6-3y=4$$

दोन्ही बाजूंकडून 6 वजा करा.

$$2x-3y=4-6$$

-2 मिळविण्यासाठी 4 मधून 6 वजा करा.

$$2x-3y=-2$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला x-y-1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)$$

2 ला x-2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x-3y-3=2x-4$$

दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$3x-3y-3-2x=-4$$

x मिळविण्यासाठी 3x आणि -2x एकत्र करा.

$$x-3y-3=-4$$

दोन्ही बाजूंना 3 जोडा.

$$x-3y=-4+3$$

-1 मिळविण्यासाठी -4 आणि 3 जोडा.

$$x-3y=-1$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x-3y=-2,x-3y=-1$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2x-3y=-2 मधून x-3y=-1 वजा करा.

$$2x-x-3y+3y=-2+1$$

-3y ते 3y जोडा. -3y आणि 3y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2x-x=-2+1$$

2x ते -x जोडा.

$$x=-2+1$$

-2 ते 1 जोडा.

$$x=-1$$

x-3y=-1 मध्ये x साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$-1-3y=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 1 जोडा.

$$-3y=0$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-1,y=0$$