{l}{2(x+2)-3(y-1)=13}{3(x+2)+5(y-1)=30.9} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 2 ) - 3 ( y - 1 ) = 13 } \\ { 3 ( x + 2 ) + 5 ( y - 1 ) = 30.9 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=6.3$$

$$y=2.2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13,3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13$$

x+2 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$2x+4-3\left(y-1\right)=13$$

y-1 ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$2x+4-3y+3=13$$

4 ते 3 जोडा.

$$2x-3y+7=13$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 7 वजा करा.

$$2x-3y=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$2x=3y+6$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+6\right)$$

6+3y ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{3}{2}y+3$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{3y}{2}+3 चा विकल्प वापरा, 3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9.

$$3\left(\frac{3}{2}y+3+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

3 ते 2 जोडा.

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

\frac{3y}{2}+5 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{9}{2}y+15+5\left(y-1\right)=30.9$$

y-1 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{9}{2}y+15+5y-5=30.9$$

\frac{9y}{2} ते 5y जोडा.

$$\frac{19}{2}y+15-5=30.9$$

15 ते -5 जोडा.

$$\frac{19}{2}y+10=30.9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 10 वजा करा.

$$\frac{19}{2}y=20.9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{19}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{11}{5}$$

x=\frac{3}{2}y+3 मध्ये y साठी \frac{11}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{11}{5}+3$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{11}{5} चा \frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{33}{10}+3$$

3 ते \frac{33}{10} जोडा.

$$x=\frac{63}{10}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{63}{10},y=\frac{11}{5}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13,3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

प्रथम समीकरण मानक फॉर्ममध्ये ठेवण्यासाठी सरलीकृत करा.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13$$

x+2 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$2x+4-3\left(y-1\right)=13$$

y-1 ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$2x+4-3y+3=13$$

4 ते 3 जोडा.

$$2x-3y+7=13$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 7 वजा करा.

$$2x-3y=6$$

द्वितीय समीकरण मानक फॉर्ममध्ये ठेवण्यासाठी सरलीकृत करा.

$$3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

x+2 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$3x+6+5\left(y-1\right)=30.9$$

y-1 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$3x+6+5y-5=30.9$$

6 ते -5 जोडा.

$$3x+5y+1=30.9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 1 वजा करा.

$$3x+5y=29.9$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 6+\frac{3}{19}\times 29.9\\-\frac{3}{19}\times 6+\frac{2}{19}\times 29.9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{10}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{63}{10},y=\frac{11}{5}$$