{l}{2(3x-4)+3y=31}{x/2-y/5=5} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 3 x - 4 ) + 3 y = 31 } \\ { \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 5 } = 5 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{76}{9} = 8\frac{4}{9} \approx 8.444444444$$

$$y = -\frac{35}{9} = -3\frac{8}{9} \approx -3.888888889$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला 3x-4 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x-8+3y=31$$

दोन्ही बाजूंना 8 जोडा.

$$6x+3y=31+8$$

39 मिळविण्यासाठी 31 आणि 8 जोडा.

$$6x+3y=39$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 10 ने गुणाकार करा, 2,5 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$5x-2y=50$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$6x+3y=39$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$6x=-3y+39$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+39\right)$$

-3y+39 ला \frac{1}{6} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y+13}{2} चा विकल्प वापरा, 5x-2y=50.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}\right)-2y=50$$

\frac{-y+13}{2} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{65}{2}-2y=50$$

-\frac{5y}{2} ते -2y जोडा.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{65}{2}=50$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{65}{2} वजा करा.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{35}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{9}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{35}{9}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2} मध्ये y साठी -\frac{35}{9} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{35}{9}\right)+\frac{13}{2}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{35}{9} चा -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{35}{18}+\frac{13}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{13}{2} ते \frac{35}{18} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{76}{9}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला 3x-4 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x-8+3y=31$$

दोन्ही बाजूंना 8 जोडा.

$$6x+3y=31+8$$

39 मिळविण्यासाठी 31 आणि 8 जोडा.

$$6x+3y=39$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 10 ने गुणाकार करा, 2,5 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$5x-2y=50$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{6\left(-2\right)-3\times 5}&-\frac{3}{6\left(-2\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{6\left(-2\right)-3\times 5}&\frac{6}{6\left(-2\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 39+\frac{1}{9}\times 50\\\frac{5}{27}\times 39-\frac{2}{9}\times 50\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{76}{9}\\-\frac{35}{9}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला 3x-4 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x-8+3y=31$$

दोन्ही बाजूंना 8 जोडा.

$$6x+3y=31+8$$

39 मिळविण्यासाठी 31 आणि 8 जोडा.

$$6x+3y=39$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 10 ने गुणाकार करा, 2,5 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$5x-2y=50$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

6x आणि 5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने गुणाकार करा.

$$5\times 6x+5\times 3y=5\times 39,6\times 5x+6\left(-2\right)y=6\times 50$$

सरलीकृत करा.

$$30x+15y=195,30x-12y=300$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 30x+15y=195 मधून 30x-12y=300 वजा करा.

$$30x-30x+15y+12y=195-300$$

30x ते -30x जोडा. 30x आणि -30x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$15y+12y=195-300$$

15y ते 12y जोडा.

$$27y=195-300$$

195 ते -300 जोडा.

$$27y=-105$$

दोन्ही बाजूंना 27 ने विभागा.

$$y=-\frac{35}{9}$$

5x-2y=50 मध्ये y साठी -\frac{35}{9} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5x-2\left(-\frac{35}{9}\right)=50$$

-\frac{35}{9} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$5x+\frac{70}{9}=50$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{70}{9} वजा करा.

$$5x=\frac{380}{9}$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{76}{9}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$