{l}{1530=16x+2y}{817x+110y=77715} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 1530 = 16 x + 2 y } \\ { 817 x + 110 y = 77715 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{715}{7} = 102\frac{1}{7} \approx 102.142857143$$

$$y = -\frac{365}{7} = -52\frac{1}{7} \approx -52.142857143$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$16x+2y=1530$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$16x+2y=1530,817x+110y=77715$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$16x+2y=1530$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$16x=-2y+1530$$

दोन्ही बाजूंना 16 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{16}\left(-2y+1530\right)$$

-2y+1530 ला \frac{1}{16} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{765}{8}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y+765}{8} चा विकल्प वापरा, 817x+110y=77715.

$$817\left(-\frac{1}{8}y+\frac{765}{8}\right)+110y=77715$$

\frac{-y+765}{8} ला 817 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{817}{8}y+\frac{625005}{8}+110y=77715$$

-\frac{817y}{8} ते 110y जोडा.

$$\frac{63}{8}y+\frac{625005}{8}=77715$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{625005}{8} वजा करा.

$$\frac{63}{8}y=-\frac{3285}{8}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{63}{8} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{365}{7}$$

x=-\frac{1}{8}y+\frac{765}{8} मध्ये y साठी -\frac{365}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-\frac{365}{7}\right)+\frac{765}{8}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{365}{7} चा -\frac{1}{8} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{365}{56}+\frac{765}{8}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{765}{8} ते \frac{365}{56} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{715}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{715}{7},y=-\frac{365}{7}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$16x+2y=1530$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$16x+2y=1530,817x+110y=77715$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{110}{16\times 110-2\times 817}&-\frac{2}{16\times 110-2\times 817}\\-\frac{817}{16\times 110-2\times 817}&\frac{16}{16\times 110-2\times 817}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{63}&-\frac{1}{63}\\-\frac{817}{126}&\frac{8}{63}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{63}\times 1530-\frac{1}{63}\times 77715\\-\frac{817}{126}\times 1530+\frac{8}{63}\times 77715\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{715}{7}\\-\frac{365}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{715}{7},y=-\frac{365}{7}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$16x+2y=1530$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$16x+2y=1530,817x+110y=77715$$

16x आणि 817x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 817 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 16 ने गुणाकार करा.

$$817\times 16x+817\times 2y=817\times 1530,16\times 817x+16\times 110y=16\times 77715$$

सरलीकृत करा.

$$13072x+1634y=1250010,13072x+1760y=1243440$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 13072x+1634y=1250010 मधून 13072x+1760y=1243440 वजा करा.

$$13072x-13072x+1634y-1760y=1250010-1243440$$

13072x ते -13072x जोडा. 13072x आणि -13072x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$1634y-1760y=1250010-1243440$$

1634y ते -1760y जोडा.

$$-126y=1250010-1243440$$

1250010 ते -1243440 जोडा.

$$-126y=6570$$

दोन्ही बाजूंना -126 ने विभागा.

$$y=-\frac{365}{7}$$

817x+110y=77715 मध्ये y साठी -\frac{365}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$817x+110\left(-\frac{365}{7}\right)=77715$$

-\frac{365}{7} ला 110 वेळा गुणाकार करा.

$$817x-\frac{40150}{7}=77715$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{40150}{7} जोडा.

$$817x=\frac{584155}{7}$$

दोन्ही बाजूंना 817 ने विभागा.

$$x=\frac{715}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{715}{7},y=-\frac{365}{7}$$