{l}{14x-3y=-63}{7x+2y=-7} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 14 x - 3 y = - 63 } \\ { 7 x + 2 y = - 7 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-3$$

$$y=7$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$14x-3y=-63,7x+2y=-7$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$14x-3y=-63$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$14x=3y-63$$

दोन्ही बाजूंना 14 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{14}\left(3y-63\right)$$

-63+3y ला \frac{1}{14} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{3}{14}y-\frac{9}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{3y}{14}-\frac{9}{2} चा विकल्प वापरा, 7x+2y=-7.

$$7\left(\frac{3}{14}y-\frac{9}{2}\right)+2y=-7$$

\frac{3y}{14}-\frac{9}{2} ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{3}{2}y-\frac{63}{2}+2y=-7$$

\frac{3y}{2} ते 2y जोडा.

$$\frac{7}{2}y-\frac{63}{2}=-7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{63}{2} जोडा.

$$\frac{7}{2}y=\frac{49}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{7}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=7$$

x=\frac{3}{14}y-\frac{9}{2} मध्ये y साठी 7 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{3}{14}\times 7-\frac{9}{2}$$

7 ला \frac{3}{14} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{3-9}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{9}{2} ते \frac{3}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-3,y=7$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$14x-3y=-63,7x+2y=-7$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{14\times 2-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{14\times 2-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{14\times 2-\left(-3\times 7\right)}&\frac{14}{14\times 2-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{49}&\frac{3}{49}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{49}\left(-63\right)+\frac{3}{49}\left(-7\right)\\-\frac{1}{7}\left(-63\right)+\frac{2}{7}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-3,y=7$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$14x-3y=-63,7x+2y=-7$$

14x आणि 7x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 14 ने गुणाकार करा.

$$7\times 14x+7\left(-3\right)y=7\left(-63\right),14\times 7x+14\times 2y=14\left(-7\right)$$

सरलीकृत करा.

$$98x-21y=-441,98x+28y=-98$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 98x-21y=-441 मधून 98x+28y=-98 वजा करा.

$$98x-98x-21y-28y=-441+98$$

98x ते -98x जोडा. 98x आणि -98x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-21y-28y=-441+98$$

-21y ते -28y जोडा.

$$-49y=-441+98$$

-441 ते 98 जोडा.

$$-49y=-343$$

दोन्ही बाजूंना -49 ने विभागा.

$$y=7$$

7x+2y=-7 मध्ये y साठी 7 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$7x+2\times 7=-7$$

7 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$7x+14=-7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 14 वजा करा.

$$7x=-21$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=-3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-3,y=7$$