{l}{10y+2x=16}{x=3y} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 y + 2 x = 16 } \\ { x = 3 y } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=3$$

$$y=1$$

विकल्प वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$x-3y=0$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$10y+2x=16,-3y+x=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$10y+2x=16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2x वजा करा.

$$10y=-2x+16$$

दोन्ही बाजूंना 10 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{10}\left(-2x+16\right)$$

-2x+16 ला \frac{1}{10} वेळा गुणाकार करा.

$$y=-\frac{1}{5}x+\frac{8}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{-x+8}{5} चा विकल्प वापरा, -3y+x=0.

$$-3\left(-\frac{1}{5}x+\frac{8}{5}\right)+x=0$$

\frac{-x+8}{5} ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{3}{5}x-\frac{24}{5}+x=0$$

\frac{3x}{5} ते x जोडा.

$$\frac{8}{5}x-\frac{24}{5}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{24}{5} जोडा.

$$\frac{8}{5}x=\frac{24}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{8}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=3$$

y=-\frac{1}{5}x+\frac{8}{5} मध्ये x साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=-\frac{1}{5}\times 3+\frac{8}{5}$$

3 ला -\frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{-3+8}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{8}{5} ते -\frac{3}{5} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$y=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=1,x=3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$x-3y=0$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$10y+2x=16,-3y+x=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}10&2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}10&2\\-3&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{10-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{10-2\left(-3\right)}&\frac{10}{10-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}&-\frac{1}{8}\\\frac{3}{16}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}\times 16\\\frac{3}{16}\times 16\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=1,x=3$$

निष्कासन वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$x-3y=0$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$10y+2x=16,-3y+x=0$$

10y आणि -3y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 10 ने गुणाकार करा.

$$-3\times 10y-3\times 2x=-3\times 16,10\left(-3\right)y+10x=0$$

सरलीकृत करा.

$$-30y-6x=-48,-30y+10x=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -30y-6x=-48 मधून -30y+10x=0 वजा करा.

$$-30y+30y-6x-10x=-48$$

-30y ते 30y जोडा. -30y आणि 30y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-6x-10x=-48$$

-6x ते -10x जोडा.

$$-16x=-48$$

दोन्ही बाजूंना -16 ने विभागा.

$$x=3$$

-3y+x=0 मध्ये x साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$-3y+3=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3 वजा करा.

$$-3y=-3$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$y=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=1,x=3$$