{l}{10x+y=6y+5}{10y+x=(10x+y)+27} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + y = 6 y + 5 } \\ { 10 y + x = ( 10 x + y ) + 27 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=4$$

$$y=7$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 6y वजा करा.

$$10x+y-6y=5$$

-5y मिळविण्यासाठी y आणि -6y एकत्र करा.

$$10x-5y=5$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 10x वजा करा.

$$10y+x-10x=y+27$$

-9x मिळविण्यासाठी x आणि -10x एकत्र करा.

$$10y-9x=y+27$$

दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$10y-9x-y=27$$

9y मिळविण्यासाठी 10y आणि -y एकत्र करा.

$$9y-9x=27$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$10x-5y=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5y जोडा.

$$10x=5y+5$$

दोन्ही बाजूंना 10 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{10}\left(5y+5\right)$$

5+5y ला \frac{1}{10} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{1+y}{2} चा विकल्प वापरा, -9x+9y=27.

$$-9\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+9y=27$$

\frac{1+y}{2} ला -9 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}+9y=27$$

-\frac{9y}{2} ते 9y जोडा.

$$\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}=27$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{9}{2} जोडा.

$$\frac{9}{2}y=\frac{63}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{9}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=7$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2} मध्ये y साठी 7 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

7 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{7+1}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{2} ते \frac{7}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=4,y=7$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 6y वजा करा.

$$10x+y-6y=5$$

-5y मिळविण्यासाठी y आणि -6y एकत्र करा.

$$10x-5y=5$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 10x वजा करा.

$$10y+x-10x=y+27$$

-9x मिळविण्यासाठी x आणि -10x एकत्र करा.

$$10y-9x=y+27$$

दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$10y-9x-y=27$$

9y मिळविण्यासाठी 10y आणि -y एकत्र करा.

$$9y-9x=27$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&-\frac{-5}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&\frac{10}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{1}{9}\times 27\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=4,y=7$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 6y वजा करा.

$$10x+y-6y=5$$

-5y मिळविण्यासाठी y आणि -6y एकत्र करा.

$$10x-5y=5$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 10x वजा करा.

$$10y+x-10x=y+27$$

-9x मिळविण्यासाठी x आणि -10x एकत्र करा.

$$10y-9x=y+27$$

दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$10y-9x-y=27$$

9y मिळविण्यासाठी 10y आणि -y एकत्र करा.

$$9y-9x=27$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

10x आणि -9x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -9 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 10 ने गुणाकार करा.

$$-9\times 10x-9\left(-5\right)y=-9\times 5,10\left(-9\right)x+10\times 9y=10\times 27$$

सरलीकृत करा.

$$-90x+45y=-45,-90x+90y=270$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -90x+45y=-45 मधून -90x+90y=270 वजा करा.

$$-90x+90x+45y-90y=-45-270$$

-90x ते 90x जोडा. -90x आणि 90x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$45y-90y=-45-270$$

45y ते -90y जोडा.

$$-45y=-45-270$$

-45 ते -270 जोडा.

$$-45y=-315$$

दोन्ही बाजूंना -45 ने विभागा.

$$y=7$$

-9x+9y=27 मध्ये y साठी 7 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-9x+9\times 7=27$$

7 ला 9 वेळा गुणाकार करा.

$$-9x+63=27$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 63 वजा करा.

$$-9x=-36$$

दोन्ही बाजूंना -9 ने विभागा.

$$x=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=4,y=7$$