{l}{10x+5y=170}{6x+10y=200} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 5 y = 170 } \\ { 6 x + 10 y = 200 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=10$$

$$y=14$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$10x+5y=170$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5y वजा करा.

$$10x=-5y+170$$

दोन्ही बाजूंना 10 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{10}\left(-5y+170\right)$$

-5y+170 ला \frac{1}{10} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{2}y+17$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{y}{2}+17 चा विकल्प वापरा, 6x+10y=200.

$$6\left(-\frac{1}{2}y+17\right)+10y=200$$

-\frac{y}{2}+17 ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$-3y+102+10y=200$$

-3y ते 10y जोडा.

$$7y+102=200$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 102 वजा करा.

$$7y=98$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$y=14$$

x=-\frac{1}{2}y+17 मध्ये y साठी 14 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{2}\times 14+17$$

14 ला -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-7+17$$

17 ते -7 जोडा.

$$x=10$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=10,y=14$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10\times 10-5\times 6}&-\frac{5}{10\times 10-5\times 6}\\-\frac{6}{10\times 10-5\times 6}&\frac{10}{10\times 10-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{3}{35}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 170-\frac{1}{14}\times 200\\-\frac{3}{35}\times 170+\frac{1}{7}\times 200\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=10,y=14$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

10x आणि 6x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 10 ने गुणाकार करा.

$$6\times 10x+6\times 5y=6\times 170,10\times 6x+10\times 10y=10\times 200$$

सरलीकृत करा.

$$60x+30y=1020,60x+100y=2000$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 60x+30y=1020 मधून 60x+100y=2000 वजा करा.

$$60x-60x+30y-100y=1020-2000$$

60x ते -60x जोडा. 60x आणि -60x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$30y-100y=1020-2000$$

30y ते -100y जोडा.

$$-70y=1020-2000$$

1020 ते -2000 जोडा.

$$-70y=-980$$

दोन्ही बाजूंना -70 ने विभागा.

$$y=14$$

6x+10y=200 मध्ये y साठी 14 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$6x+10\times 14=200$$

14 ला 10 वेळा गुणाकार करा.

$$6x+140=200$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 140 वजा करा.

$$6x=60$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=10$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=10,y=14$$