{l}{10x+10y=9}{5x-2y=1} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 10 y = 9 } \\ { 5 x - 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$10x+10y=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 10y वजा करा.

$$10x=-10y+9$$

दोन्ही बाजूंना 10 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{10}\left(-10y+9\right)$$

-10y+9 ला \frac{1}{10} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-y+\frac{9}{10}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+\frac{9}{10} चा विकल्प वापरा, 5x-2y=1.

$$5\left(-y+\frac{9}{10}\right)-2y=1$$

-y+\frac{9}{10} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$-5y+\frac{9}{2}-2y=1$$

-5y ते -2y जोडा.

$$-7y+\frac{9}{2}=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{9}{2} वजा करा.

$$-7y=-\frac{7}{2}$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{2}$$

x=-y+\frac{9}{10} मध्ये y साठी \frac{1}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{9}{10}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{9}{10} ते -\frac{1}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{2}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{10\left(-2\right)-10\times 5}&-\frac{10}{10\left(-2\right)-10\times 5}\\-\frac{5}{10\left(-2\right)-10\times 5}&\frac{10}{10\left(-2\right)-10\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{35}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{14}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{35}\times 9+\frac{1}{7}\\\frac{1}{14}\times 9-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

10x आणि 5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 10 ने गुणाकार करा.

$$5\times 10x+5\times 10y=5\times 9,10\times 5x+10\left(-2\right)y=10$$

सरलीकृत करा.

$$50x+50y=45,50x-20y=10$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 50x+50y=45 मधून 50x-20y=10 वजा करा.

$$50x-50x+50y+20y=45-10$$

50x ते -50x जोडा. 50x आणि -50x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$50y+20y=45-10$$

50y ते 20y जोडा.

$$70y=45-10$$

45 ते -10 जोडा.

$$70y=35$$

दोन्ही बाजूंना 70 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{2}$$

5x-2y=1 मध्ये y साठी \frac{1}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5x-2\times \frac{1}{2}=1$$

\frac{1}{2} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$5x-1=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 1 जोडा.

$$5x=2$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{2}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$