{l}{10x+10y=1646}{30x+12y=3894} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 10 y = 1646 } \\ { 30 x + 12 y = 3894 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{533}{5} = 106\frac{3}{5} = 106.6$$

$$y=58$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$10x+10y=1646,30x+12y=3894$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$10x+10y=1646$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 10y वजा करा.

$$10x=-10y+1646$$

दोन्ही बाजूंना 10 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{10}\left(-10y+1646\right)$$

-10y+1646 ला \frac{1}{10} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-y+\frac{823}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+\frac{823}{5} चा विकल्प वापरा, 30x+12y=3894.

$$30\left(-y+\frac{823}{5}\right)+12y=3894$$

-y+\frac{823}{5} ला 30 वेळा गुणाकार करा.

$$-30y+4938+12y=3894$$

-30y ते 12y जोडा.

$$-18y+4938=3894$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4938 वजा करा.

$$-18y=-1044$$

दोन्ही बाजूंना -18 ने विभागा.

$$y=58$$

x=-y+\frac{823}{5} मध्ये y साठी 58 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-58+\frac{823}{5}$$

\frac{823}{5} ते -58 जोडा.

$$x=\frac{533}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{533}{5},y=58$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$10x+10y=1646,30x+12y=3894$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}10&10\\30&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1646\\3894\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}10&10\\30&12\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\30&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&10\\30&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\30&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1646\\3894\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\30&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1646\\3894\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\30&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1646\\3894\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{10\times 12-10\times 30}&-\frac{10}{10\times 12-10\times 30}\\-\frac{30}{10\times 12-10\times 30}&\frac{10}{10\times 12-10\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1646\\3894\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{1}{18}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1646\\3894\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 1646+\frac{1}{18}\times 3894\\\frac{1}{6}\times 1646-\frac{1}{18}\times 3894\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{533}{5}\\58\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{533}{5},y=58$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$10x+10y=1646,30x+12y=3894$$

10x आणि 30x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 30 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 10 ने गुणाकार करा.

$$30\times 10x+30\times 10y=30\times 1646,10\times 30x+10\times 12y=10\times 3894$$

सरलीकृत करा.

$$300x+300y=49380,300x+120y=38940$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 300x+300y=49380 मधून 300x+120y=38940 वजा करा.

$$300x-300x+300y-120y=49380-38940$$

300x ते -300x जोडा. 300x आणि -300x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$300y-120y=49380-38940$$

300y ते -120y जोडा.

$$180y=49380-38940$$

49380 ते -38940 जोडा.

$$180y=10440$$

दोन्ही बाजूंना 180 ने विभागा.

$$y=58$$

30x+12y=3894 मध्ये y साठी 58 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$30x+12\times 58=3894$$

58 ला 12 वेळा गुणाकार करा.

$$30x+696=3894$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 696 वजा करा.

$$30x=3198$$

दोन्ही बाजूंना 30 ने विभागा.

$$x=\frac{533}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{533}{5},y=58$$