{l}{0.5x-0.8y+9=4}{x/3+y/5=4} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.5 x - 0.8 y + 9 = 4 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 4 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=6$$

$$y=10$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$0.5x-0.8y+9=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 9 वजा करा.

$$0.5x-0.8y=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{4y}{5} जोडा.

$$0.5x=0.8y-5$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$x=2\left(0.8y-5\right)$$

\frac{4y}{5}-5 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=1.6y-10$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{8y}{5}-10 चा विकल्प वापरा, \frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4.

$$\frac{1}{3}\left(1.6y-10\right)+\frac{1}{5}y=4$$

\frac{8y}{5}-10 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{8}{15}y-\frac{10}{3}+\frac{1}{5}y=4$$

\frac{8y}{15} ते \frac{y}{5} जोडा.

$$\frac{11}{15}y-\frac{10}{3}=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{10}{3} जोडा.

$$\frac{11}{15}y=\frac{22}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{11}{15} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=10$$

x=1.6y-10 मध्ये y साठी 10 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=1.6\times 10-10$$

10 ला 1.6 वेळा गुणाकार करा.

$$x=16-10$$

-10 ते 16 जोडा.

$$x=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=6,y=10$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{5}}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}&-\frac{-0.8}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}\\-\frac{\frac{1}{3}}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}&\frac{0.5}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}&\frac{24}{11}\\-\frac{10}{11}&\frac{15}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}\left(-5\right)+\frac{24}{11}\times 4\\-\frac{10}{11}\left(-5\right)+\frac{15}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=6,y=10$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

\frac{x}{2} आणि \frac{x}{3} समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना \frac{1}{3} ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 0.5 ने गुणाकार करा.

$$\frac{1}{3}\times 0.5x+\frac{1}{3}\left(-0.8\right)y+\frac{1}{3}\times 9=\frac{1}{3}\times 4,0.5\times \frac{1}{3}x+0.5\times \frac{1}{5}y=0.5\times 4$$

सरलीकृत करा.

$$\frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y+3=\frac{4}{3},\frac{1}{6}x+\frac{1}{10}y=2$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून \frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y+3=\frac{4}{3} मधून \frac{1}{6}x+\frac{1}{10}y=2 वजा करा.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y-\frac{1}{10}y+3=\frac{4}{3}-2$$

\frac{x}{6} ते -\frac{x}{6} जोडा. \frac{x}{6} आणि -\frac{x}{6} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-\frac{4}{15}y-\frac{1}{10}y+3=\frac{4}{3}-2$$

-\frac{4y}{15} ते -\frac{y}{10} जोडा.

$$-\frac{11}{30}y+3=\frac{4}{3}-2$$

\frac{4}{3} ते -2 जोडा.

$$-\frac{11}{30}y+3=-\frac{2}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3 वजा करा.

$$-\frac{11}{30}y=-\frac{11}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{11}{30} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=10$$

\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4 मध्ये y साठी 10 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}\times 10=4$$

10 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{1}{3}x+2=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2 वजा करा.

$$\frac{1}{3}x=2$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$x=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=6,y=10$$